Für welche Werte von t hat der Graph 0, 1,2 Nullstellen?
2 Antworten
- Für 0 ≤ t < e gibt es keine Nullstelle.
- Für t < 0 gibt es eine Nullstelle.
- Für t = e gibt es eine Nullstelle.
- Für t > e gibt es zwei Nullstellen.
Naja. Du hast dir davor doch schon die Graphen vom GTR anzeigen lassen und für gewisse Parameterwerte skizziert.
Dann solltest du doch erkennen können, dass der Graph in den Fällen mit t < 0 die x-Achse einmal schneidet. --> 1 Nullstelle in den Fällen mit t < 0.
In einigen Fällen dazwischen von t = 0 bis etwa t = 2,7... schneidet der Graph nicht die x-Achse. [Bei t = 2,7... berührt der Graph die x-Achse an der Stelle x = 1.] Insbesondere da im Funktionsterm auch der Summand e^x auftritt, könnte man evtl. vermuten, dass der Wert 2,7... der eulerschen Zahl e entspricht. Dies kann man durch einsetzen von t = e überprüfen. Dann erhält man f(x) = e^x - e * x und an der Stelle 1 dann tatsächlich f(1) = e^1 - e * 1 = e - e = 0.
--> keine Nullstelle von (einschließlich) t = 0 bis (ausgenommen) t = e
--> eine Nullstelle (Berührung) im Fall t = e (an der Stelle x = 1)
Und für größere Werte, also für t > e, kann man offensichtlich 2 Schnittstellen mit der x-Achse erkennen.
Ansonsten könntest du dir auch die Antwort von Littlethoght nochmal genauer ansehen. Mit dem dort genannten Denkansatz kann man die Fälle auch recht gut erkennen.
Hinweis zu den Nullstellen f(x) = 0 => e^x = t*x ;
Es sei h(x) = e^x und g(x) = t*x. Betrachte nun diese beiden Funktionen und überlege unter welchen Voraussetzungen diese Schnittpunkte haben.
Bezeichnung geändert nach Hinweis von mihisu.
Gut.
Nur eine Kleinigkeit: Ich würde allerdings empfehlen, bei „f(x) = e^x“ eine andere Bezeichnung statt „f“ wählen, um mit der gegebenen Funktionsschar nicht durcheinander zu kommen. [Aber es sollte eigentlich auch so klar sein, was gemeint ist.]
Ja, da habe ich nicht aufgepasst. Mit deiner freundlichen Genehmigung ändere ich es noch. Gruß von Littlethought.
Nachtrag: Ich finde wir sollten nicht immer gleich die vollständige Lösung posten.
Wie kommt man da drauf?