Frage zu Mathe?
Das Riemannsche Integral und das Lebesgue-Integral sind zwei grundlegende Konzepte in der Integrationstheorie. Beide bieten verschiedene Ansätze zur Integration von Funktionen. Welche fundamentalen Unterschiede bestehen zwischen dem Riemannschen Integral und dem Lebesgue-Integral in Bezug auf ihre Definitionen und Anwendungen?
3 Antworten
Wenn eine Funktion Riemann Integrierbar ist, dann ist diese auch Lebesgue Integrierbar, und die Werte der Integrale sind identisch.
Es sind also viel mehr Funktionen Lebesgue Integrierbar, und Lebesgue Integrale funktionieren (unter Bedingungen) auch, wenn man auf ganz R integriert, während Riemann integrale nur auf beschränkte Intervalle definiert sind.
Ein Beispiel für eine Funktion die nicht Riemann Integrierbar ist, aber Lebesgue Integrierbar:
Sei f(x) = 0 wenn x irrational ist, und 1 wenn rational.
Dann ist das Riemann integral von f im Intervall [0, 1] nicht definiert, das Lebesgue Integrale jedoch schon und es hat den Wert 0.
Das (bestimmte) Riemann-Integral wird mit Hilfe von Ober- und Untersummen gebildet, also letztlich mit linearen Funktionen. Das Lebesgue-Integral erweitert den Ansatz auf die Aufsummierung von einfachen (messbaren) Funktionen:
Ganz vereinfacht gesagt wird beim Riemann integral die x-achse aufgeteilt und beim Lebesgue-Integral die y achse.