Mehrdimensionales Integral Zylinder lösen?
Wie geht man bei dieser Aufgabe vor?
Wie geht man von Polarkoordinaten zu kartesischen?
Braucht man ggf 4 Integrale bei der Integration? Oder sind es doch nur 3 Integral über K
1 Antwort
Wie verhält sich r zu x und y?
Es gilt x² + y² = r². Verwende dies um das r zu ersetzen. Die Gleichungen können auch quadriert werden.
Die Bedinung mit dem Winkel liefert keine Einschränkung, da es sich um eine volle Umdrehung handelt.
Man braucht auch für die Masse nur drei Integrale. Beim Volumen integriert man die Funktion, die konstant 1 ist und bei der Masse die Dichtefunktion. Für die Höhe des Schwerpunktes, muss man die Dichte noch mit z multiplizieren, so wie man beim Erwartungswert auch die Dichte mit dem jeweiligen Wert multipliziert und integriert.
z bleibt gleich
Die Ungleichungen können quadriert werden, da die Quadratfunktion im Positiven monoton steigend ist. Das r² kann dann durch x² + y² ersetzt werden.
Also x² + y² liegt auch zwischen 0 und 1? ich brauche für die kart. koordinaten ja x y und z. Z ist gleich und wie bekomme ich einzeln noch x und y?
Hier braucht man das nicht, aber ansonsten x = r·cos(φ), y = r·sin(φ).
wie sieht die skizze dann aus? ein 3D zylinder oder kreis?
Das ist ein Kegel, der auf der Spitze steht. Wegen 0 ≤ r ≤ z ist der Radius für z = 0 auch r = 0. Wenn z ansteigt, steigt somit der maximale Wert für r an. Für z = 1 ist 0 ≤ r ≤ 1. Hier ist also der gesamte Kreis mit Radius 1 enthalten.
Muss ich dann, um die kartesischen Koordinaten zu erhalten, jeweils die Grenzen von r in die Gleichung x² + y² = r² einsetzen? Z bleibt ja gleich, oder?