Evaluiere die reihe 1^2(1+1)! + 2^2(2+1)!...?
Also es geht um diese summe von 1 bis n von n^2(n+1)! warum simplifiziert sich diese summe zu (n-1)(n+2)! + 2 jemand eine intuitive sichtweise?
1² * (1+1)! oder 1^(2*(1+1)!)?
(1^2) * (1+1)! ...
3 Antworten
Hallo,
die ersten fünf Zahlen der Reihe lauten 2; 26; 242; 2162; 20162.
Es fällt auf, daß ab der 242 hinten immer eine 2 steht und daß das auch im weiteren Verlauf der Reihe so bleibt - die nächste Zahl wäre 201602.
Zieht man diese 2 jeweils ab, lautet die Reihe 0; 24; 240; 2160; 20160.
Da unter der Summe eine Fakultät steht, liegt es nahe, zu untersuchen, ob auch in den Gliedern der Reihe Fakultäten stecken. Bei 24 ist das deutlich, das ist 4!.
Bei 240 hat mach das Doppelte von 120, also 5!, bei 2160 das Dreifache von 6!.
Nach der Null geht es also mit 1*4!+2 weiter, dann 2*5!+2, dann 3*6!+2. Am Anfang müßte dann 0*3!+2 stehen.
Glied Nr 1 für n=1 wäre demnach (1-1)*(1+2)!+2, was nahelegt, daß die Summenformel für i=1 bis n über i²*(i+1)! tatsächlich (n-1)*(n+2)!+2 lautet, was dann durch die vollständige Induktion bewiesen werden kann.
Herzliche Grüße,
Willy
Daß immer die 2 hinten steht, liegt daran, daß die Fakultäten ab 120, in der das Produkt 2*5, also 10 steckt, immer mindestens durch 10 teilbar sind, hinten also immer mindestens eine Null stehen haben. Addiert man dann eine 2, bleibt diese 2 in der Summe immer stehen. Das ist natürlich auch bei Zehnerpotenzen der Fall - hier aber lag der Verdacht der Fakultät, die ja bereits unter der Summe steht, nahe.
Auf die Summenformel kommt man am häufigsten (wenn man überhaupt darauf kommt), wenn man sich die ersten Glieder eine Reihe anschaut und versucht, ein Muster zu erkennen. Manchmal ist das einfach, manchmal sauschwer, manchmal findet man nichts.
Intuitiv, naja, wenn man es mit Induktion beweist sieht man wenigstens, was passiert.
(n-1)(n+2)! + 2 + (n+1)^2 (n+2)!
= (n+2)! ( n + n^2 + 2n ) + 2
= (n+2)! n (n+3) + 2
Sei i = 1
den ersten Teil ersetzen wir entsprechend der für n angenommen Gleichung
Das setzen wir gleich mit
Cool danke! Eigentlich wollte ich vermeiden mir die resultate fuer n's anzuschauen aber hier ists einleuchtend