warum gilt diese Äquivalenz?

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ich hab den tipp mit der Summe einer geometrischen Reihe bekommen und dass es gegen 1 konvergiert

Answer 1

[DerRoll]

Die geometrische Reihe benötigst du hier nicht. Es handelt sich um eine Teleskopsumme. Teile die Summe in zwei Teile auf, mache bei einem eine Indexverschiebung, ziehe bei der einen Summe den ersten Summanden (1) und bei der anderen den letzten (1/k) heraus und führe die Summe wieder zusammen. Dann heben sich gleiche Terme auf.

Answer 2

[gfntom]

Gehe die Summe mal "von Hand" durch und setze ein:

n = 2: 1/1-1/2
n= 3: 1/2 - 1/3

wenn du beides addierst, fällt das 1/2 weg und es bleibt nur die 1 und das -1/3

wenn du nun n = 4 -> 1/3 - 1/4 addierst, fällt das 1/3 weg und es bleibt das -1/4

kurz: in der Summe bleibt immer nur die 1 und der letzte Teilsummand.

Mathematisch exakt siehe Antwort von @DerRoll

Answer 3

[SeifenkistenBOB]

Beim Bilden der Teleskopsumme fällt auf, dass sich Summanden in der Summe in regelmäßigen Abständen aufheben:

für n=2 gilt: (1 - 1/2)
für n=3 gilt: (+1/2 - 1/3)
für n=4 gilt: (+1/3 - 1/4)
...

Der zweite Summand von n hebt sich immer mit dem ersten Summanden von n+1 auf. Also bleibt im Falle n=k nur die 1 vom Anfang und der allerletzte Term stehen und der ist immer -1/k.

Answer 4

[Suboptimierer]

Am besten beweist du es. Dann brauchst du nicht nach dem Warum fragen. Dann ist es halt so.

IA:

$\sum_{n=2}^2\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\ =\ 1-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{k}\left(wahr\right)$ IV: siehe Fragestellung

IS:

$\sum_{n=2}^{k+1}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{k+1-1}-\frac{1}{k+1}+\sum_{n=2}^k\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)$ $=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}+1-\frac{1}{k}=1-\frac{1}{k+1}$