Erklärung Grenzwert bei Exponentialfunktion?

Hallo ich würde mich freuen, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen kann:

Dankeschön!!

Answer 1

[evtldocha]

Zu Aufgabe a) Skizze zu Halbwertszeit t = 30 Jahre: Damit $y\left(t\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}=\left(\sqrt[30]{\frac{1}{2}}\right)^t=\left(\frac{1}{\sqrt[30]{2}}\right)^t\approx\ 0,9772^t$ $y\left(t\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}=e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{t}{30}}=e^{-\frac{\ln\left(2\right)}{30}\cdot t}$

(wähle davon, wie ihr es im Unterricht verwendet)

Der Grenzwert ist $\lim_{t\to\infty}y\left(t\right)=0$

Zu Aufgabe b) Löse die Gleichung x(t) = 0,01 $e^{-\frac{\ln\left(2\right)}{30}\cdot t\ }=0,01\ \ \ \ \ \ \ |\ \ln$ $-\frac{\ln\left(2\right)}{30}\cdot t\ =\ \ln\left(0,01\right)\ \ \ \ \ \ \ \ |\ \cdot\left(-\frac{30}{\ln\left(2\right)}\right)$ $t=-\ 30\cdot\frac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(2\right)}\ \approx199,3$

Nach knapp 200 Jahren (6,64 Halbwertszeiten) sind nur noch 1 % übrig.