Mathe: Pascalsches Dreieck und Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Hey,
Hat jemand eine Idee wie das geht?
Nummer 2
2 Antworten
Hallo,
wenn Du n Versuche hast, dann führen (n über k) Wege zu k Treffern.
(n über k) ist der Binomialkoeffizient.
Entweder konstruierst Du ihn über das Pascalsche Dreieck;
n ist die Zeile, k ist die entsprechende Zahl in der Zeile, wobei die erste Zahl, die immer 1 ist, für k=0 steht und die letzte, auch immer 1, für k=n.
Zwei Treffer bei 5 Versuchen wäre 5 über 2, also die dritte Zahl in der fünften Zeile des Dreiecks, nämlich 10.
Zeile 5: 1 5 10 10 5 1
Du kannst n über k auch mit Hilfe von Fakultäten berechnen:
n über k=n!/[k!*(n-k)!]
Hier also:
5 über 2=5!/(2!*3!)=120/(2*6)=120/12=10
Bei Fakultäten kannst Du proma kürzen:
5!/3!=(5*4*3*2*1)/(3*2*1), bis auf 5*4 kürzt sich alles weg.
Da das Ganze noch durch k=2!=2*1=2 gekürzt wird, bleiben 5*4/2=10.
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit stets gleich bleibt und die nur Treffer oder Nichttreffer kennen, läßt sich nach der Bernoulliformel
P=(n über k)*p^k*(1-p)^(n-k) berechnen.
Wenn n=5 und k=2:
Anzahl der Wege zu zwei Treffern bei fünf Versuchen:
(5 über 2)*0,25^2*0,75^3
0,25 ist p, die Wahrscheinlichkeit für Rot, weil das rote Feld 1/4 der Fläche des Rades ausfüllt.
0,75 ist 1-p, die Gegenwahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Rot nicht kommt.
Da Du genau zwei Treffer bei fünf Versuchen brauchst, muß Rot zweimal erscheinen, daher 0,25^2 und eine andere Farbe dreimal, daher 0,75^3.
Da sich die beiden Treffer auf (5 über 2)=10 Arten auf die fünf Versuche verteilen können (10 Wege führen im Baumdiagramm zu zweimal Rot), mußt Du das Ganze noch mit 10 multiplizieren.
Die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot ist im vorliegenden Fall daher
10*0,25^2*0,75^3=0,263671875, also etwa 26,37 %.
Herzliche Grüße,
Willy
Eigentlich gibt es da keine Pfade, denn es gibt nur den einen Versuch, der 5mal wiederholt wird! Die Wahrscheinlichkeit ist also bei jedem Versuch 1/4! Je mehr Versuche, umso mehr Möglichkeiten sind es, auf die man sich bezieht, also wird die P kleiner! Das geht aber nur, wenn man die P's Multipliziert - reine Logik!