Beweisen dass eine Funktion NUR positive Steigungen besitzt?
Folgende Funktion:
f(x) = 1/3x^3 - x^2 + 3x
Ich soll beweisen, dass diese Funktion nur positive Steigungen hat. Wie beweise ich das?
Ich kann sagen die Nullstelle ist Null. Das kann man ja direkt ablesen, da in der Funktion keine Konstante ist. Setzte ich dann Werte in die 1. Ableitung ein, die kleiner als Null sind (also bspw. -1) und dann Werte die größer sind als Null (also bspw. 1) und dann schaue ich ob die Steigungen größer oder kleiner als Null sind?
Wäre das richtig oder muss ich das anderes beweisen? (P.S. eine grafik reicht nicht als beweis)
4 Antworten
Die 1. Ableitung wird niemals 0 oder negativ (es gibt keine x-Stelle, an der das der Fall wäre).
Das heißt, dass die Steigung deiner Funktion niemals 0 oder negativ wird.
Zeige, dass die erste Ableitung immer größer null ist.
Die Ableitung ist
x² - 2x + 3
Eine Parabel .
Ihr Scheitelpunkt liegt bei ( +1 / +2) und damit oberhalb der x-Achse.
Alle y-Werte ( f'(x) ) sind daher positiv. Daher hat f(x) nur pos Steig.
Dazu mußt Du nur zeigen, dass die Funktion an einer beliebiger Stelle positive Steigung und im ganzen Definitionsbereich keine Wendepunkte hat.
Wie das über die erste und zweite Ableitung geht, ist Dir sicher bekannt !
MFG automathias