Was sagen mir die 2. und die 3. Ableitung einer Funktion (Anālysis)?
Durch die 1. Ableitung einer Funktion erhält man die Steigungen an den jeweiligen Stellen der Funktion.
Außerdem erhält man Hoch- und Tiefpunkte indem man die 1. Ableitung gleich Null setzt, da an diesen Stellen keine Steigung herrscht.
Was sagt mir nun die 2. Ableitung? Genauer gesagt was sagt mir die 2. Ableitung über die Ursprungsfunktion und was über die 1. Ableitung?
Und was sagt mit die 3. Ableitung über die Ursprungsfunktion, die 1. Ableitung und die 2. Ableitung?
Ich glaube Wende- und Sattelpunkte spielen hier eine Rolle, habe aber keinen Überblick zu den gesamten Zusammenhängen.
5 Antworten
1. abl steigungsverhältnisse und hoch-/tiefpunkte
2. abl krümmungsverhältnisse und wendepunktem und überprüfen ob hoch-/tiefpunkte auch wirklich hoch-/tiefpunkte sind
3. abl überprüfen ob wendepunkte auch wirklich wendepunkte sind
Gerade für Steckbriefaufgaben sind diese Interpretationen von großer Wichtigkeit. Glücklicherweise ist es aber gar nicht so viel, wie man zunächst befürchtet.
http://dieter-online.de.tl/-Ue-bersetzung-f.ue.r-Fortgeschrittene.htm
Hier noch zur Info die Übersetzung für einfachere Textaufgaben:
http://dieter-online.de.tl/Deutsch_Mathematisch.htm
Erweiterungsvorschläge willkommen!
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Kleiner Tipp:
AnaIysis kann man in der Mitte auch mit großen i schreiben.
Aus der 2. und 3. Ableitung kannst du fallbezogen verschiedene Informationen gewinnen, beispielsweise bei ganzrationalen Funktionen den Grad der Ausgangspunktion. Die Potenz reduziert sich bei jeder Ableitung um 1.
Die erste Ableitung gibt die Steigung an, die zweite Ableitung das Krümmungsverhalten. Hast Du den Graphen der zweiten Ableitung, dann kannst du grafisch die erste Ableitung skizzieren und darauf wiederum f(x) - nur skizzieren, es kann noch nach oben oder unten verschoben sein.
Wie Du Extremstellen bestimmst, findest Du hier:
Extremstellen berechnen - Hochpunkte Tiefpunkte bestimmen - Teil der Kurvendiskussion - YouTube
Die Ableitung zeigt immer die Steigung der abgeleiteten Funktion.
Wenn du eine Funktion zweimal ableitest dann gibt diese funktion die Steigung der Steigung an. Wenn du nachdenkst was das jetzt genau bedeutet: Es gibt an, um wieviel die Steigung zum Zeitpunkt t zu oder abnimmt. Die 3. Ableitung gibt dann an um wieviel die Steigung der Steigung zum Zeitpunkt t3 zu oder abnimmt, also wenn du z.B. eine Funktion hast f (x), dann ist die steigung stets 1 weil sie linear ist (die steigung ist also konstant), dementsprechend nimmt die Steigung nie ab oder zu d.h. die 2. Ableitung ist 0 usw.
Die zweite Ableitung ist die Steigung der Steigung, sprich die Krümmung.
Die dritte Ableitung ist die Steigung der Krümmung oder auch die Krümmung der Steigung, such dir was aus.