genaue Anzahl der Nullstellen ablesen?
Kann man bei reellen Funktionen im Allgemeinen ohne Berechnungen, auf den ersten Blick sozusagen, feststellen wie viele Nullstellen f(x) hat? Schon klar, die maximale Anzahl sehe ich am Grad der Funktion, aber kann ich auch gleich die genaue Anzahl bestimmen?
danke im vorhinein, peace out ;)
3 Antworten
Es gibt hypergeometrische Funktionen -> da kann kein Mensch irgendetwas "auf den ersten Blick" bestimmen!
Was Du vermutlich meinst, ist die Frage, ob Polynome eine bestimmte Anzahl an reellen Nullstellen haben. Außerdem kann man sich bei "Mehrfach-Nullstellen" streiten, ob man sie auch mehrfach zählt.
Unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php
kann man für Polynome bis Grad 4 alle Nullstellen EXAKT berechnen.
Da die Zwischenergebnisse (z.B. der PQRST-Formel) jedoch komplex sind (besser sein können) kann man erst "auf halben Wege" bestimmen, ob das Endergebnis komplexer Natur sein wird.
Bis zum Grad 2 sieht man recht gut, dass bei großem Offset (Abstand zur x-Achse) bei gleichem Vorzeichen der Faktoren -> keine reelle Nullstelle möglich ist:
0=x²+3 * x +10
Man kann aber sagen, dass Polynome mit ungeradem Grad mindestens 1 reelle Nullstelle haben müssen.
Hier eine schöne Seite, wie man die Anzahl bei Polynomen per PC berechnet:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/anzahlnullstellen.htm
Wie du richtig erwähnt hast, kannst du anhand des Grades der Funktion wie viele es maximal gibt. Schau mal auf YouTube, dort gibt es Mathematik Tipps und Tricks, mit denen du das ganz schnell erkennen kannst...
Bei komplexwertigen Polynomen kannst du direkt sagen, wie viele Nullstellen multipliziert mit ihren Vielfachheiten existieren. Bei reell-wertigen Polynomen kann man das nicht mehr exakt feststellen, denn die Verschiebung entlang der "y-Achse" spielt hier auch eine Rolle. Bei einigen bekannten Funktionen wie e(x) oder log(x) gehts auch noch, aber wie soll man das für komplexe Ausdrucke, die Kombinationen von Funktionen sind, direkt identifizieren? Die Antwort ist nein: selbst im einfachsten Fall für Funktionen R-->R geht das nicht mehr. Ich sage jetzt lieber nichts zur Mehrdimensionalen Ana lysis oder Variationsrechnung, denn da wirds richtig pervers.