irrationale zahlen nicht als bruch darstellbar?
Warum ist eine Zahl direkt irrational, wenn sie nicht als p/q mit p und q teilerfremd (und natürlich q ungleich 0) dargestellt werden kann? Bzw warum ist eine Zahl rational, wenn sie als Bruch p/q dargestellt werden kann, wobei p und q teilerfremd. sind. Was hat es mit dieser Teilerfremdheit auf sich?
(ich brauche das übrigens für Beweise, wie z.B beweise durch indirekten Beweis, dass die Wurzel aus 3 irrational ist bzw. die Wurzel aus 4 rational)
2 Antworten
Ich denke dass das eine sehr unbefriedigende Antwort ist und es tut mir auch leid, aber schau dir mal die Definition von rationalen Zahlen an.
Wenn man die Details jz mal weg lässt, sind rationale Zahlen eben gerade dadurch definiert, dass man sie so als Bruch darstellen kann.
Genauer funktioniert dass über Äquivalenzrelationen über Tupel von Zahlen. Dabei wird auch sichergestellt, dass z.B. 2/3 und 4/6 das gleiche sind.
Mit der Teilerfremdheit hat es auf sich, dass man die Repräsentanten einer Äquivalenzklasse bevorzugt den maximal gekürzten Bruch angibt. Und das ist eben jener Bruch, bei dem der Zähler und der Nenner teilerfremd sind. Wären sie nicht teilerfremd, bedeutet sie hätten einen gemeinsamen Teiler, dann könntest du ja diesen Teiler kürzen.
siehe hierzu die beiden Videos von Daniel Jung: