Beweis für diese Ungleichung?

Es gilt: x+y=1

Ungleichung: (x+1)/y + (y+1)/x >= 6

Kann mir jemand helfen diese Ungleichung zu beweisen?

Answer 1

[eterneladam]

Es muss auch 0 < x,y <1 gelten.

(x+1)/y + (y+1)/x >= 6, mal xy:

x² + x + y² + y >= 6xy, Voraussetzung anwenden, +2xy:

x² + 2xy + y² + 1 >= 8xy

(x+y)² + 1 >= 8xy, Voraussetzung anwenden,

xy <= 1/4 bzw. x(1-x) <= 1/4, was wahr ist.

Answer 2

[Marouane243]

Am besten die Gleichung umstellen nach y:

y = x - 1;

Dann in die Ungleichung einsetzen

(x + 1)/(x - 1) + x/x >= 6; | -1 (da x/x = 1)

(x + 1)/(x - 1) >= 5; | (x - 1)

x + 1 >= 5x - 5 | -1; -5x

-4x >= -6

=> x = 1,5

Woher ich das weiß: Hobby – Iwas mit Zahlen und so.

Comments

[eterneladam]

Die Umstellung zu Beginn wäre y = 1 - x

Answer 3

[aperfect10]

Da x + y = 1, kannst Du auch für die Einsen in den Zählern x + y einsetzen und dann vereinfachen, bis Du zu einer offensichtlich wahren Aussage kommst.