Beweis Ungleichung?

Hey,

Ich habe für die Uni eine Aufgabe zu Maxima und Minima, bei der eine Ungleichung bewiesen werden soll.

Diese habe ich jetzt heruntergebrochen auf

|a-d| =< |a-c| + |b-d|

bei a>b und c<d.

Allerdings weiß ich nicht, wie ich den Beweis nun zu Ende führen kann. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Liebe Grüße, Paul

Answer 1

[LoverOfPi]

Naja, ich kenne mich mit dem ganzen Gebiet nicht so gut aus. Aber, du könntest ja einfach die Beträge auflösen (|a-d|=a-d od. -(a-d))

Dann hast du nur noch wenige Kombinationen ohne Beträge, die du zeigen musst.

also sei + einfach der Betrag ohne - aufgelöst und - ist die Auflösung des Betrages mit -, verbleiben noch:

+ + +

+ + -

+ - +

- + +

+ - -

- + -

- - +

- - -

Wenn du diese 2³ Möglichkeiten beweisen kannst, dann ist m.M.n. die Ungleichung bewiesen. Ist zwar umständlich aber wohl simpel.

a-d≤a-c+b-d ist beispielsweise + + +

a-d≤a-c+b-d |-a

-d≤-c-d+b |+d

c≤b

Ich weiß nicht, ob du noch weitere Einschränkungen für die Variablen hast, aber wenn du zeigen kannst, dass c≤b, hast du den ersten Fall gezeigt.

Answer 2

[Hamburger02]

Betragstriche kriegt man erfahrungsgemäß am besten durch Fallunterscheidungen weg.

Was gegeben ist, sind die beiden Wertepaare ab und cd durch a>b und c<d.

Das verdeutlicht man sich am besten auf einem Zahlenstrahl:

Die Wertepaare ab und cd können aber unterschiedlich zueinander liegen. cd kann links oder rechts von ab liegen oder c oder d kann zwischen ab liegen oder wenn cd kleiner als ab ist, kann das komplett innerhalb von ab liegen. Diese Fälle muss man unterscheiden. Da mir das zu viel Fleißarbeit ist, führe ich nur den ersten Fall vor, der im Bild oben dargestellt ist:

1) c ≥ a

Dann gilt:
∣a - d∣ = d - a
∣a - c∣ = c - a
∣b - d∣ = d - b

⇒ d - a ≤ c - a + d - b ∣ -d + a
0 ≤ c - b

aus a > b und c > a folgt:
c > b
daraus folgt:
c - b ist positiv und damit ist die Aussage
0 ≤ c - b
wahr.

q.e.d.

Answer 3

[eterneladam]

Ich benutze die folgenden Darstellungen für die Maxima:

max(a, b)= (a + b + |a - b| ) /2

max(c, d)= (c + d + |c - d| ) /2

Nun geht's los,

| max(a, b) - max(c, d) |

= | (a + b + |a - b| ) /2 - (c + d + |c - d| ) /2 |

= | (a - c)/2 + (b - d)/2 + |a - b|/2 - |c - d|/2 |, Dreiecksungleichung,

<= |a - c|/2 + |b - d|/2 + | |a - b|/2 - |c - d|/2 | |, umgekehrte Dreiecksungleichung beim dritten Term,

<= |a - c|/2 + |b - d|/2 + |(a - b)/2 - (c - d)/2|

= |a - c|/2 + |b - d|/2 + |(a - c)/2 - (b - d)/2|, Dreiecksungleichung beim dritten Term,

<= |a - c|/2 + |b - d|/2 + |a - c|/2 + |b - d|/2

Zusammenfassen