Aufgabe Funktionenschar?
Die funktion lautet x^3 -2 ax^2 + a^2x
Wie bestimme ich a so, dass es einen tiefpunkt an der stelle x= -1 gibt?
3 Antworten
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Ich gehe von folgender Voraussetzung aus: a ϵ R \ { 0 }
Wenn man die erste Ableitung gleich Null setzt, gibt es zwei mögliche Kandidaten für Extrema: x_E1 = a und x_E2 = (1 / 3) * a
Diese Werte in die zweite Ableitung eingesetzt, führen jeweils zu Fallunterscheidungen:
f''(a) = 2 * a
Fall 1) a > 0 Tiefpunkt ; Fall 2) a < 0 Hochpunkt
Da x = -1 = a, kommt hier nur der Hochpunkt infrage. Gesucht ist aber der TP bei x = -1
f''((1 / 3) * a) = -2 * a
Fall 1) a > 0 Hochpunkt ; Fall 2) a < 0 Tiefpunkt
Da x = (1 / 3) * a ist, ist für x = -1 folglich a = -3. Für a = -3 liegt der TP bei x = -1.
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Zunächst ist das was du da hingeschrieben hast keine Funktion, sondern ein Term. Eine Funktion(sgleichung) enthält ein "=". Die Extremstellen der Funktion
f(x) = x³ - 2ax² + a²x
berechnest du indem du die Ableitung der Funktion in Abhängigkeit von a berechnest und dann mit Hilfe der Mitternachtsformel (oder abc-Formel) die Nullstellen dieser Funktion suchst. Der Tiefpunkt liegt bei der größeren der beiden Nullstellen (warum muß das so sein?).
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Extremstellen berechnen wie gehabt.
Und dann halt die zweite Ableitung betrachten.
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Ja aber wenn ich es in die 2. Ableitung einsetze kann es ja mal ein hochpunkt aber auch ein Tiefpunk werden wegen der Fallunterscheidung. Wie mache ich es dann
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Mach mal eine Skizze des Funktionsgraphen in Hinblick auf das Verhalten gegen ±Unendlich. Dann hast Du es.
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Es ist für plus unendlich positiv und für minus unendlich negativ aber ich weiß nicht wie mir das weiterhilft
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Es ist für plus unendlich positiv und für minus unendlich negativ
Richtig. 🙂👍
aber ich weiß nicht wie mir das weiterhilft
Überleg mal. Du verfolgtst den Graphen von links, also von -Unendlich kommend, nach rechts. Das Ding steigt und steigt. Irgendwann kommt dann die erste Extremstelle.
Preisfrage: Wird das ein Minimum oder ein Maximum sein? 😉
Ja aber dann bekomme ich 2 Lösungen einmal x= a und x= a/3
Dann unterscheidet man weil beide Stellen KÖNNEN ein minimum werden wegen dem a...wie mache ich es dann?