Wie löst man diese Aufgabe zu Funktionenscharen?
3 Antworten
Hallo,
wenn Du die erste Ableitung bildest, kannst Du ein x ausklammern, so daß eine Nullstelle schon einmal bei x=0 liegt.
Der Restterm ist quadratisch und kann nach der pq-Formel aufgelöst werden. Die Diskriminante unter der Wurzel lautet a²/4-1, die für alle a größer 2 oder kleiner -2 größer als Null wird, so daß es weitere zwei Lösungen außer x=0 gibt.
Für a kleiner 2 oder größer -2 wird die Diskriminante negativ, so daß es in diesem Bereich keine weitere reelle Lösung gibt.
Für a=2 oder a=-2 wird die Diskriminante Null. Es gibt also hier genau eine Nullstelle.
Wäre diese ein zweites Extremum, das es laut Behauptung doch gar nicht geben darf, weil es entweder nur ein oder genau drei Extrema gibt, aber auf keinen Fall zwei? Das klärt die zweite Ableitung, die bei a=2 oder a=-2 ebenfalls un der entsprechenden Nullstelle Null wird, so daß dieses zweite 'Extremum' gar keins ist, sondern ein Sattelpunkt.
Die Behauptung ist daher korrekt.
Herzliche Grüße,
Willy
Und woher findet man heraus wo für-× ein extremum ist?
Ergänzung: Wird (bei der Ableitung) die Diskriminante 0, so handelt es sich dort um eine Nullstelle von f' ohne Vorzeichenwechsel womit nachgewiesen ist, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Erste und zweite Ableitung = 0 reicht nicht zum Nachweis eines Sattelpunktes (siehe f(x) = x^4)
Also immer wenn ich die erste ableitung gleich Null setze und die diskriminante 0 ist ist es ein sattelpunkt
Genau: Doppelte Nullstelle von f', daraus folgt Sattelpunkt. Die Steigung ist dort 0, wechselt aber nicht das Vorzeichen. Mach dir das am Kurvenverlauf klar, nicht nur Rezepte lernen.
ableiten
Ableitung null setzen
vermutlich ist da eine quadratische Gleichung im Spiel, die Anzahl der Lösungen ist dann vom Ausdruck unter der Wurzel abhängig
auch da gehts um die Anzahl der Extrempunkte, also auch hier Ableitung null setzen und dann begründen
hast du schon die Ableitung ausgerechnet?
Also sie anderen extrempunkte sind x=2 und -2