Teilbarkeit durch 6?
Ich soll mittels primfaktorzerlegung beweisen dass das Produkt 3 aufeinanderfolgenden Zahlen durch 6 teilbar ist. Mein Ansatz : 3 aufeinanderfolgende Zahlen: n(n+1)(n+2)
wenn n gerade ist musste das Produkt ungerade sein
wenn n ungerade ist müsste es ebenso ungerade sein.
die kleinste ungerade Zahl außer 1 ist 3 . Ich gehe also davon aus da die Zahl durch 3 teilbar ist und somit auch durch 6 .
ist glaub ich formal aber net ganz richtig.
um ehrlich zu sein würde ich einen rein rechnerischen Weg bevorzugen
2 Antworten
Hallo,
wenn Du eine natürliche Zahl durch 3 teilst, bleibt entweder ein Rest von 0, von 1 oder von 2.
Bei drei aufeinanderfolgenden Zahlen muß daher eine den Rest 0 lassen, also durch 3 teilbar sein.
Bleibt noch die Teilbarkeit durch 2 von n*(n+1)*(n+2).
Zeige es für gerade n, indem Du n durch 2k ersetzt. Aus dem Ergebnis wirst Du eine 2 ausklammern können.
Zeige es für ungerade n, indem Du n durch 2k-1 ersetzt.
Auch hier sollte sich aus dem Ergebnis eine 2 ausklemmern lassen.
Somit ist sowohl die Teilbarkeit durch 2 als auch die durch 3 bewiesen und damit auch die Teilbarkeit durch 6.
Du kannst es auch über die vollständige Induktion beweisen, was aber letztlich auf dasselbe hinausläuft.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Primfaktorzerlegung ist nur der erste Schritt der Beweisführung.
Du beginnst mit:
Sei P das Produkt von 3 aufeinander folgenden Zahlen
P = n * (n+1) * (n+2)
dann lässt sich P auch durch Primzahlen faktorisieren
P = a * b * c * d *...
Randnotiz: Warum mindestens 4 Faktoren? Weil es keine 3 aufeinander folgenden Primzahlen gibt!
Und dann weiter:
Eine Zahl ist durch 6 teilbar., wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist.
Somit müssen in der Primfaktorzerlegung die Faktoren 2 und 3 auftauchen.
Für die Folge n, n+1 lässt sich trivial beweisen, dass eine der beiden Zahlen durch 2 teilbar (= gerade) ist.
Ebenso kann für die Folge n, n+1, n+2 bewiesen werden, dass genau eine der Zahlen durch 3 teilbar sein muss.
Damit sind die Faktoren 2 und 3 zwingend in der Primfaktorzerlegung zu finden und somit ist P ein Vielfaches von 6.
Ok, den trivialen Fall der Zahlenfolge 1, 2, 3 habe ich tatsächlich übersehen.
Spielt ohnehin keine Rolle, ob es nun zwei, drei oder vier oder mehr Primfaktoren mindestens sind.
Es kommt eh nur auf die 2 und die 3 an. Sind die dabei, ist die Zahl durch 6 teilbar, denn dann kann man alle anderen eventuellen Primfaktoren zum Produkt k zusammenfassen und kommt so auf eine Zahl 2*3*k=6k und 6k ist durch 6 teilbar.
„Ebenso kann für die Folge n, n+1, n+2 bewiesen werden, dass genau eine der Zahlen durch 3 teilbar sein muss“ . Wie kann ich das beweisen? Also ohne Induktion oder so? An sich macht es ja Sinn. Wenn ich das bei jeder Zahl ausprobiere, klappt das erst mal nur wie schreibe ich das formal auf beziehungsweise begründe es
Schreib mal eine Zahlenreihe auf
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...
Und dann streiche alle durch 3 teilbaren Zahlen durch
3, 6, 9,...
Wie viele Zahlen liegen jeweils dazwischen? Gibt es 3 aufeinander folgende Zahlen ohne eine durchgestrichene Zahl?
In mathematischer Schreibweise kannst Du die modulo Division verwenden (einfach gesagt: "Teilen mit Rest", das war 4. Klasse). Der Rest kann bei mod 3 entweder 0, 1 oder 2 sein.
Und dann Fallbetrachtung:
Wenn n mod 3 = 1 ist, dann muss n+1 mod 3 = 2 und n+2 mod 3 = 0 sein, dh n+2 ist durch 3 teilbar.
Die anderen Fälle kannst Du direkt daraus ableiten.
Eine Zahl ist durch 6 teilbar., wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist.
Jetzt musst Du nur beweisen, dass in der Zahlenfolge n, n+1, n+2 beide Bedingungen erfüllt sind.
Zeige ich dadurch das ganze durch primfaktorzerlegung? Es wird ja mittels Primfaktorzerlegung verlangt