Alle ungeraden natürlichen Zahlen sind als Differenz zweier aufeinanderfolgenden Quadratzahlen darstellbar. Wie kann man das beweisen?
Hi zusammen, ich suche einen Beweis für die oben stehende Aussage. Ich studiere Mathe L3 im 1. Semester. Danke vorab!
3 Antworten
Die ungeraden natürlichen Zahlen sind die Zahlen 2k + 1 mit m ∈ ℕ₀.
Die Quadratzahlen sind die Zahlen k² mit k ∈ ℕ₀.
Zu zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen gibt es demnach offensichtlich immer ein k ∈ ℕ₀, sodass sich die beiden Quadratzahlen als k² und (k + 1)² schreiben lassen.
Hinweis für dich nun: Vereinfache (k + 1)² - k² und vergleiche das mit der Möglichkeit die ungeraden natürlichen Zahlen darzustellen.
Hier dann ein möglicher Beweis zum Vergleich: https://i.imgur.com/PbOxoB2.png
Die ungeraden natürlichen Zahlen sind die Zahlen 2k + 1 mit m ∈ ℕ₀.
Da sollte eigentlich „2k + 1 mit k ∈ ℕ₀“ (oder „2m + 1 mit m ∈ ℕ₀“) stehen.
Betrachte
(n+1)^2 - n^2
Welche Eigenschaft hat der Term der rauskommt, wenn du das ganze Zusammenfässt?
Erstmal formalisierst du die Aussage:
Wenn du jetzt die rechte Seite scharf ansiehst, behaupte ich, kannst du das n sofort explizit angeben.
Das ist aber nicht die Aussage dieser Frage ;-)