Beweis durch Widerspruch?
Die einzigen drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen a,b,c, die die Gleichung a^2+b^2=c^2 erfüllen, sind 3,4,5.
Wie lautet der Beweis durch Widerspruch?
3 Antworten
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Hallo,
gäbe es diese Zahl, dann müßte es für die Gleichung n²+(n+1)²=(n+2)² eine andere Lösung geben als n=3.
Ausmultiplizieren und zusammenfassen:
n²+n²+2n+1=n²+4n+4.
Alles nach links:
n²-2n-3=0.
(n+1)*(n-3)=0.
Diese Gleichung hat nur die beiden Lösungen n=-1 (keine natürliche Zahl) und n=3.
Somit ist das pythagoräische Tripel 3; 4; 5 tatsächlich das einzige mit drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen.
Herzliche Grüße,
Willy
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Das ist ein wirklich schlechtes Beispiel für einen indirekten Beweis.
Nehmen wir an, es gäbe drei aufeinander folgende Zahlen a, b und c, mit a^2+b^2=c^2, wobei c < 5 gilt.
Dann gibt es nur die Möglichkeiten:
0^2 + 1^2 = 2^2
1^2 + 2^2 = 3^2
2^2 + 3^2 = 4^2
All das ist falsch, also ist
3^2 + 4^2 = 5^2
die kleinste gesuchte Lösung
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Ich würde das so zeigen:
Wenn es 3 solcher aufeinanderfolgender Zahlen gäbe, müsste die Gleichung
(n + 4)² +(n + 5)² = (n + 6)²
eine Lösung im Bereich der natürlichen Zahlen haben.
Es kommt als größte Lösung aber n = -1 heraus, also keine natürliche Zahl.