Ableitungsprobleme mit Sinus und Cosinus?

Guten Tag

Ich hab Mühe mit den Ableitungen von Sinus und Cosinus. Die erste Ableitung verstehe ich noch (aus sinus wird cosinus + Kettenregel wird angewendet), aber wie kommt man hier auf die zweite Ableitung? Und wieso gibt das schlussendlich 1/a?

Answer 1

[Willibergi]

Die zweite Ableitung (Produktregel):

$\left(2\cdot\sin x\cdot\cos x\right)'=2\cdot\left(\sin x\cdot\cos x\right)'$ $=2\cdot\left(\sin x\cdot\left(-\sin x\right)+\cos x\cdot\cos x\right)$ $=2\cdot\left(\cos^2x-\sin^2x\right)$

Jetzt einfach 0 einsetzen:

$2\cdot\left(\cos^2\left(0\right)-\sin^2\left(0\right)\right)=2\cdot\left(1-0\right)=2$

Damit kommen wir auf:

$\lim_{x\rightarrow0}\ \frac{2\cdot\left(\cos^2x-\sin^2x\right)}{2a}=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$

LG

Answer 2

[ghul666]

Wo ist denn da die Rede von der 2. Ableitung?

Das sind doch alles Standard-Termumformungen.

Answer 3

[mihisu]

Für die Ableitung von 2 ⋅ sin(x) ⋅ cos(x) kann man die Produktregel verwenden.

2 ⋅ sin'(x) ⋅ cos(x) + 2 ⋅ sin(x) ⋅ cos'(x)
= 2 ⋅ cos(x) ⋅ cos(x) + 2 ⋅ sin(x) ⋅ (-sin(x))
= 2 ⋅ cos²(x) - 2 ⋅ sin²(x)
= 2 ⋅ (cos²(x) - sin²(x))

Für x --> 0 erhält man dann am Ende ...

2 ⋅ (cos²(0) - sin²(0))/(2a)
= 2 ⋅ (1² - 0²)/(2a)
= 2 ⋅ 1/(2a)
= 1/a

[Dabei wurde cos(0) = 1 und sin(0) = 0 ausgenutzt und im letzten Schritt mit 2 gekürzt.]

Comments

[Halbrecht]

was ich nicht verstehe : für welche Fkt wird hier eigentlich die Ableitung bestimmt ?

[mihisu]

@Halbrecht

Bei der Regel von L'Hospital muss man Zähler- und Nennerfunktion ableiten. Bei einem Schirtt, bei dem hier die Regel von L'Hospital verwendet wird, ist der Zähler 2 ⋅ sin(x) ⋅ cos(x), welcher bzgl. x abgeleitet werden muss. Dabei hatte der Fragensteller Probleme.

[Halbrecht]

@mihisu

danke, das ist mir klar : von zeile 1 zu 2 : Hos , von 2 zu 3 auch hos , aber was steht vor 1 , augenscheinlich sollte doch mal eine Ursprungsfkt abgeleitet werden ...

[PeterPan2337]

Da man bei der zweiten Ableitung noch folgendes stehen hat:

2(cos^2 - sin^2) / 2 a, kann man die zwei kürzen und cos^2 - sin^2 = 1

[mihisu]

@PeterPan2337

Ja, natürlich kann man die 2 auch schon vorher kürzen, bevor man die 0 einsetzt.

cos² - sin² = 1 ist jedoch so nicht richtig. cos²(0) - sin²(0) = 1 ist richtig. Aber nicht für alle x-Werte ist cos²(x) - sin²(x) = 1, falls du das gemeint haben solltest.

[PeterPan2337]

@mihisu

Hast du Recht, cos^2 + sin^2 = 1, hatte das verwechselt.

[Dreamer1234321]

Super danke, das hat mir sehr geholfen :)

Answer 4

[PeterPan2337]

Also:

Zweite Ableitung (Produktregel)

$f''\left(x\right)\ =\ u'\cdot v\ +\ v'\cdot u$

Answer 5

[fjf100]

siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.

Kapitel,Differentationsregeln,elementare Ableitungen

Produktregel (u*v)´=u´*v+u*v´ oder

(u*v*w)´=u´*v*w+u*v´*w+u*v*w´

Quotientenregel (u/v)´=(u´*v-u*v´)/v²

Konstantenregel (a*f(x))´=a*f´(x)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert