Eine Ableitung die nur ein Minus hat?
Hallo zusammen
ich habe f(x)= 1/2(eˣ +t*e⁻ˣ)
Wieso ist die Ableitung = f'(x)=1/2(eˣ - t*e⁻ˣ)
Hier kann ich ja weder die Kettenregel, die da heisst: f'(x)= u'(v(x))*(v')
noch die Produktregel gebrauchen.
Und wie sieht die zweite Ableitung (bitte nachvollziehbare Gedankengänge) aus?
Bitte Schritt für Schritt?
Danke für die Hilfe
lg W.
3 Antworten
Das - kommt von e^-x. Denn (e^-x)' = -e^-x. Dabei wird übrigens sehr wohl die Kettenregel angewendet.
Wieso ist die Ableitung = f'(x)=1/2(eˣ -t*e⁻ˣ)
woher kommt wohl das minus statt dem plus vor dem t ?
weil -1 * + t*e^-x gebildet wurde . Auch wenns nicht so ausieht : die -1 ist die innere Ableitung von g(x) , wobei g(x) das -x ist :
und wegen dieser -1 ist die zweite Ableitung wieder so wie f(x) , die dritte wieder so wie f'(x) . Denn die -1 ändert nur das Vorzeichen
.
Um die Ableitung von f(x) = 1/2(e^x + t*e^(-x)) zu berechnen, können wir die Summenregel anwenden sowie die Ableitung der Exponentialfunktion verwenden.
f'(x) = 1/2 * (e^x + t*(-e^(-x))) f'(x) = 1/2 * (e^x - t*e^(-x))
Für die zweite Ableitung f''(x) können wir erneut die Ableitung der Exponentialfunktion verwenden:
f''(x) = 1/2 * (e^x + t*(-e^(-x))) f''(x) = 1/2 * (e^x - t*e^(-x))
Für die dritte Ableitung f'''(x) müssen wir erneut ableiten:
f'''(x) = 1/2 * (e^x + t*(-e^(-x))) f'''(x) = 1/2 * (e^x - t*e^(-x))
Man sieht, dass die zweite und dritte Ableitung von f(x) denselben Ausdruck wie die erste Ableitung haben. Dies liegt daran, dass die Funktion f(x) eine lineare Kombination von zwei Exponentialfunktionen ist, und die Ableitung der Exponentialfunktionen sich bei wiederholtem Ableiten nicht verändert.