Funktionsfolgen, gleichmäßige Konvergenz?
Wie kommt man auf epsilon/4 ?
1 Antwort
Hier geht es im Grunde nur darum, die Definition von gleichmäßig stetig stehen zu haben.
Was bei der Abschätzung von
unter anderem gemacht wird, ist x^2 nach oben abzuschätzen. Da x in [1,2] liegt, folgt x^2<=4. Nun will man ganz am Ende stehen haben:
,denn das steht auch so in der Definition von gleichmäßig stetig. Daher muss man den Teil mit sin(x^2/N) noch geeignet abschätzen. Wir versuchen ihn daher gegen ε/4 abzuschätzen, da dann ganz am 4*ε/4=ε stehen bleibt. Genau das was wir wollen.
Im Grunde könnte man auch einfach ε statt ε/4 wählen. Dann hätte man
Daraus würde immer noch gleichmäßige Konvergenz folgen, da ε sowieso beliebig klein werden kann. Aber in der Mathematik mag man schöne Lösungen, daher schätzt man so ab, dass am Ende nur noch ein ε wie in der Definition von gleichmäßig stetig steht.
Noch als Tipp: Oft sieht man vielleicht nicht direkt, was die "schöne" Abschätzung sein soll. Du kannst daher auch einfach mal ein ε' wählen und schauen, wie man das dann besser festlegen kann. Also man wählt das ε' erst nachdem man fertig ist. Im Beweis sieht es dann aber so aus, als wüsste man es a priori schon.