Richtungsableitung (schwer) - zusammenfassen?

Hallo liebe Community,

Ich soll im Rahmen meines Studiums die folgende Aufgabe lösen:

Komm dort aber relativ schnell nicht wirklich voran. Hier mein bisheriger Lösungsansatz:

Wir suchen:

$_{t\rightarrow0}^{\lim}\frac{\exp\left(A+tB\right)-\exp\left(A\right)}{t}$ Zunächst betrachten wir exp(A+tB).

$\exp\left(A+tB\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cdot\left(A+tB\right)^n$ $=\frac{1}{0!}\cdot I+\frac{1}{1!}\left(A+tB\right)+\frac{1}{2!}\left(A+tB\right)^2+\frac{1}{3!}\cdot\left(A+tB\right)^3+...$ Wir lassen ja t gegen null gehen. Multipliziert man exp(A+tB) vollständig aus, so erhält man viele Summanden, in denen t zu einer Potenz von 2 oder höher vorkommt. Davon kürzt sich ein t mit dem Nenner, der Rest läuft gegen 0, wodurch der ganze Summand 0 wird. Wir müssen also nur jene betrachten, für die die Potenz von t eins oder 0 ist.

$\approx I+A+Bt+\frac{1}{2}A^2+\frac{1}{2}ABt+\frac{1}{2}BAt+\frac{1}{6}A^3+\frac{1}{6}A^2Bt+\frac{1}{6}ABAt+\frac{1}{6}BA^2t+...$ $=I+A+\frac{1}{2}A^2+\frac{1}{6}A^3+....+t\left(B+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BA+\frac{1}{6}A^2B+\frac{1}{6}ABA+\frac{1}{6}BA^2+...\right)$ $=\exp\left(A\right)+t\left(...\right)$ $\Rightarrow_{t\rightarrow0}^{\lim}\frac{\exp\left(A+tB\right)-\exp\left(A\right)}{t}=B+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BA+\frac{1}{6}A^2B+...$ Ich komme bis zu dieser Reihe. Kann ich die noch weiter zusammenfassen? Ich sehe wenn ja, leider nicht wie. Aber in dieser Form sieht es sehr unschön aus. Es muss doch einfacher gehen. Ich habe ja dann quasi:

$=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot\left(\sum_{j=0}^{k-1}A^{k-1-j}\cdot B\cdot A^j\right)$

Answer 1

[RitterToby08]

Meiner Meinung nach sollte es stimmen. Ich sehe jetzt keinen Fehler, aber die ... Argumente können natürlich trügen. Für den Fall AB=BA kann man es einfacher ausrechnen:

$\lim_{t\rightarrow0}\ \frac{\exp\left(A+tB\right)-\exp\left(A\right)}{t}=\exp\left(A\right)\lim_{t\rightarrow0}\ \frac{\exp\left(tB\right)-1}{t}=B\cdot\exp\left(A\right)$ Dieses Ergebnis kommt dann auch bei deiner Formel raus:

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\sum_{j=0}^{k-1}A^{k-1-j}B\cdot A^{\ j}\right)=B\cdot\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(k-1\right)!}\cdot A^{k-1}=B\cdot\exp\left(A\right)$ Also ein gutes Zeichen.

Comments

[LoverOfPi]

Ja, ich bin mir etwas unsicher. Unser Seminarleiter hat mir eigentlich gesagt, es gäbe einen konkreten Ausdruck ohne Reihen, er war sich aber auch nicht sicher. Deswegen bin ich ein wenig verzweifelt :D

[RitterToby08]

@LoverOfPi

Da kann ich dir nicht weiterhelfen. Ich sehe in deiner Reihe auch keine weiteren Umformung. Das Ergebnis sollte aber stimmen.

[LoverOfPi]

@RitterToby08

Kann ich argumentieren, dass die "..." Argumente hier funktionieren, weil die Reihen bzgl. einer Norm absolut konvergieren?

[RitterToby08]

@LoverOfPi

Das Problem bei den ... ist nicht die Konvergenz. Man umgeht eine Induktion, indem man nicht die Darstellung aller Summanden finden muss. Da können dann Fehler entstehen. Aber das sollte bei dir passen.