Wurzelfunktion?
Wieso ist die Wurzelfunktion keine Funktion? Im Unterricht wurde 4-> -2, 2 zugeordnet. Aber ich verstehe den Widerspruch nicht so ganz.
4 Antworten
Die Wurzel ist eine Funktion, die Zuordnung Wurzel(4) zu einer Zahlenmenge {-2, 2} ist falsch. Das Bild der Wurzelfunktion mit Urbild 4 ist nur die 2, nicht die -2.
Da aber auch (-2)² = 4, müssen wir, um alle Lösungsmöglichkeiten von x für x² = 4 herauszufinden, sowohl die Wurzel als auch die mit -1 multiplizierte Wurzel ziehen. Also richtig:
x² = 4 ==> Wurzel(4) = 2 = x1 und (-1) * Wurzel(4) = -2 = x2
Lösungsmenge für x = {-2, 2}
Falsch ist hingegen x = Wurzel(4) = {-2;2}. Weder ist x eine Menge noch ist das Ergebnis der Wurzel eine Menge.
Die Möglichkeiten für x, damit die Gleichung wahr wird, ist eine Menge, nicht die konkrete Belegung für x. Es gibt viele Gleichungen, in welchen nur eine Umkehroperation nicht zur vollständigen Lösungsmenge führt, sondern noch weitere Möglichkeiten von potenziellen Belegungen untersucht werden muss. Das erweitert jedoch nicht die konkrete Funktion oder die jeweilige Operation, notfalls sind mehrere Operationen erforderlich, um alle Lösungen zu finden.
Bei geraden Potenzen gilt (-1)^n = 1 (n gerade)
Wenn wir also a² = b haben, dann haben wir auch (-a)² = b
da (-a)² = (-1)² * (a)² = 1 * a² = a²
Demnach führen sowohl a² als auch (-a)² zu demselben Ergebnis b.
Wenn man aber rückwärts von b zu a kommen will, genügt es nicht, einfach nur die Wurzel zu ziehen, denn dann würde man nur eine der Lösungen erhalten, obwohl es zwei Lösungen gibt (bzw. bei komplexen Zahlen kann es noch deutlich mehr geben). Entsprechend muss man mit weiteren Schritten die übrigen Lösungen erhalten.
Wenn a positiv ist, dann erhalten wir die zweie Lösung -a einfach durch Wurzel *(-1). Das ist der Trick, um auch die zweite Lösung zu erhalten (bei höheren Potenzen und komplexen Zahlen gibt es einen weiteren "Trick", um auch die übrigen Lösungsmöglichkeiten zu erhalten, das geht lustigerweise dann in die Trigonometrie).
Beispiel: x² = 4. Wenn wir nur die Wurzel ziehen, würden wir nur die 2 erhalten. Aber auch die -2 ist eine Lösung, da (-2)² = 4. Aber wie kommen wir nun von der 4 auf die -2? Mit Wurzel geht es ja nicht, aber mit Wurzel(4) *(-1) wird die zweite Lösung aufgedeckt, das ist der Trick.
Die Wurzelfunktion ist wie @Nobytree2 schon geschrieben hat selbstverständlich eine Funktion, die auf ihrem gesamten Definitionsbereich, nämlich auf [0, unendl) definiert ist. Sie ist die Umkehrfunktion der Funktion f(x) = x² auf dem gleichen Definitionsbereich. Was dein Lehrer vielleicht meint ist das f(x) = x² auf ganz R KEINE Umkehrfunktion hat, weil die Funktion eben auf R nicht bijektiv ist. Auf [0, unendl) ist f(x) = x² aber bijektiv.
Im Unterricht wurde 4-> -2, 2 zugeordnet.
... das wäre nur peinlich für den Unterricht, wenn dem tatsächlich so wäre.
Funktionen müssen eindeutig sein, d. h. es darf für
einen x-Wert nicht mehrere f(x)-Werte geben. Das ist
bei der Wurzelfunktion auch so, weil sie per definitionem
nur den positiven Wert liefert. Sie ist also eine Funktion,
egal was man euch im Unterricht erzählt hat.
Beispiel: √9 = +3, nicht √9 = ±3
Ich konnte allem folgen, nur konnte ich nicht ganz entnehmen, wieso man die wurzel mit Minus 1 multiplizieren soll?