Wurzel 2 = irrational - Frage?
Hallo Com,
ich bekam die Aufgabe, zu beweisen, dass die Wurzel aus 2 irrational ist. Ich fand auch entsprechende Infos im Internet.
Allerdings ist mir nicht klar, weshalb 2q^2 gerade ist und damit auch p^2.
Danke!
4 Antworten
Eine gerade Zahl ist dadurch definiert, dass sie ohne Rest durch 2 teilbar ist. Der Wert 2q^2 ist durch 2 teilbar, das ergibt in jedem Fall q^2. Somit ist dies eine gerade Zahl, unabhängig von q.
Eine Zahl ist gerade, wenn sie [ohne Rest] durch 2 teilbar ist. 2q^2 / 2 = q^2
Dir fehlen in deinem Gedankengang offensichtlich folgende beiden Aussagen (Axiome):
Das Quadrat einer geraden Zahl
ist immer ebenfalls eine gerade Zahl.
Das Quadrat einer ungeraden Zahl
ist immer ebenfalls ein ungerade Zahl.
Daraus folgt im Umkehrschluss:
Wenn p² gerade dann ist p auch gerade
Wenn q² ungerade dann ist q auch ungerade.
Allerdings ist mir nicht klar, weshalb 2q^2 gerade ist und damit auch p^2.
2q² ist gerade, weil die Definition von "gerade" vereinfacht ausgedrückt ist "ohne Rest durch 2 teilbar".
Wenn q also eine ganze Zahl ist, dann ist 2q² immer gerade.
Nennen wir q² einfach mal x. Dann ist 2q²=2x. D.h.: Unter der Bedingung, dass q und damit x ganze Zahlen sind, lässt sich 2x (ganz offensichtlich) ohne Rest durch 2 teilen.
Und wenn p²=2q² ist, dann ist p² natürlich ebenfalls gerade.
P.S.: p²/2=q²
P.P.S.: Wenn p und/oder q keine ganzen Zahlen sind wirds ggf. etwas "lustiger"... ;)