Woran kann man ohne Rechnung sehen, dass eine Parabel zwei Schnittpunkte mit der x-Achse hat?
Hey kann mir bitte jemand weiter helfen ich schreibe morgen eine Arbeit und diese Frage ist mir noch offen und zwar wäre der Scheitelpunkt (3/-4) falls das was hilft. Danke im voraus
6 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Volens/1444748690_nmmslarge.jpg?v=1444748690000)
Das ist die so genannte Diskriminante (lat.: die Entscheidende).
Bei einer quadratischen Parabel ist dies der Wurzelinhalt bei der p,q-Auflösung.
D = (p/2)² - q
Da können 3 Ergebnisse herauskommen (wie bei jeder Wurzel):
D > 0 2 Lösungen für die quadratische Gleichung, als 2 Nullstellen
D = 0 1 Lösung, nämlich -p/2
D < 0 keine reelle Lösung, sondern nur 2 im komplexen Bereich
Das kann man schon bestimmen, bevor man x₁,₂ auszurechnen beginnt.
Dein Scheitelpunkt hat y = -4
Wenn dann a > 0 ist, gibt es aif alle Fälle zwei Lösungen, denn eine Parabel mit Minus davor würde sich nach unten öffnen.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Anhand des Funktionsterms siehst Du, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist (am Faktor vor dem x² erkennbar). Ist der bekannte Scheitelpunkt nun unterhalb der x-Achse (y-Wert kleiner Null) und ist die Parabel nach oben offen (Faktor vor x² ist positiv), dann muss es 2 Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) geben; entsprechend muss der Scheitelpunkt bei nach unten offener Parabel über der x-Achse liegen, damit es 2 Nullstellen gibt.
Kennst Du nur den Funktionsterm ohne Scheitelpunkt, dann gibt es nur dann sicher 2 Nullstellen, wenn das Absolutglied (der Summand ohne x) ein anderes Vorzeichen hat als der Faktor vor dem x² (auch Streckungsfaktor genannt), z. B.:
f(x)=2x²+7x-1
f(x)=-2x²+7x+1
Diese Funktionen haben 2 Nullstellen.
Sind beide Vorzeichen (von Absolutglied und Streckungsfaktor) gleich, dann ist alles möglich...:
f(x)=x²+2x+1 (1 Nullstelle)
f(x)=x²+x+1 (keine Nullstelle)
f(x)=x²-2,5x+1 (2 Nullstellen)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Scheitelpunktform y=a2*(x-xs)²+ys
y=0=a2*(x-xs)²+ys ergibt Wurzel(-(ys)/a2)=x-xs
also x1,2=Wurzel(-(ys)(a2))+xs zwei "reelle Nullstellen,nur wenn der Ausdruck unter der Wurzel "-(ys)/a2 "positiv ist
also ys=negativ und a2=positiv oder ys=positiv und a2=negativ
1 Nullstelle,wenn -(ys)/a2=0 also ys=0
allgemeine Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
Scheitelkoordinaten xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)/(4*a2)+ao
Bei der allgemeinen Form muß man erst ermiteln,ab ys "positiv" oder "negativ" ist.
also ys=positiv auf jeden Fall,wenn a1=negativ a2=positiv und ao positiv
oder a1=positiv dann a2=negativ und ao =positiv
usw.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
in Scheitelpunktform f(x)= a (x-d)²+e kann man ja den Scheitelpunkt sofort ablesen. -> (d;e)
Wenn a negativ und e positiv oder a positiv und e negativ ist gibt es jeweils 2 x-Achsen Schnittpunkte. e verschiebt nämlich die Parabel entlang der y-Achse, Faktor a entscheidet, ob der Graph nach oben oder unten geöffnet wird.
e=0 -> genau ein Punkt auf der x-Achse,
e und a positiv/negativ -> keine Schnittpunkte mit x-Achse
wenn dein Graph nicht in der Scheitelform ist, dann einfach eine quadreatische Ergänzung durchführen.
Hoffe das hilft
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Rubezahl2000/1444749506_nmmslarge.jpg?v=1444749506000)
Wenn es sowohl negative als auch positive Funktionswerte gibt, dann liegt ein Teil des Graphen unterhalb und ein Teil oberhalb der x-Achse.
Dann gibt es zwangsläufig 2 Schnittpunkte mit der x-Achse.