Wie kann sofort erkennen wie viele Schnittpunkte die Parabel mit der X - Achse hat?
Kann mir jemand erklären, wie ich sofort erkennen kann wie viele Schnittpunkte die Parabel mit der X - Achse hat? Ohne Rechnen und die Formel umzustellen.
Am besten an diesen Beispielen:
- 2 * (x - 2)² + 3
- -x² - 5
- -(x - 2) ²
- (x + 2) (x - 2) + 5
2 Antworten
Hallo, eine Funktion n-ten Grades hat maximal n Nullstellen, am Umstellen wirst du meistens nicht Herumkommen. Solltest du beispielsweise eine Parabelform haben, so kannst du einfach den Scheitelpunkt erkennen und folglich aussagen, wie viele Nullstellen die Funktion hat.
Merk dir:
f(x)=a*(x-p)^2+q hat den Scheitelpunkt (p/q) und ist für ein positives a nach oben geöffnet und für ein negatives nach unten!
Zu deinen Beispielen:
Die Parabel ist nach oben geöffnet, da der Faktor (2) positiv ist. Der Scheitelpunkt liegt bei (2/3), deshalb hat die Funktion keine Nullstelle
Die Funktion ist nach unten geöffnet (-1*x) und schneidet die y-Achse bei -5 --> auch keine Nullstellen
Auch hier ist die Funktion nach unten geöffnet, der Scheitelpunkt liegt auf der X-Achse, es gibt also eine Nullstelle.
Hier müsstest du die dritte binomische Formel erst einmal anwenden, aber man kann schon erkennen, dass der erste Faktor = x^2-4 ist. Folglich liegt der Schnittpunkt bei 1 wegen -4+5=1 und die Parabel ist nach oben geöffnet, deshalb hat sie keine Nullstellen
Wie gesagt mit Parabeln ist das einfacher aber mit Funktionen >2-Grades musst du zwangsläufig umstellen.
Hoffe, ich konnte helfen :)
Anhand der Gleichungen kannst Du die Scheitelpunkte erkennen und an dem Vorzeichen vor dem x² (+ nach oben geöffnet, - nach unten geöffnet) und der Lage im Koordinatensystem erkennst Du dann, ob und wieviele Schnittpunkte mit der x-Achse vorhanden sind.
- Beispiel: nach oben geöffnet, Scheitelpunkt (2/3), also kann es keine Schnittpunkte geben
- Beispiel: nach unten geöffnet, Scheitelpunkt (0/-5), also auch kein Schnittpunkt
- Beispiel: nach unten geöffnet, Scheitelpunkt (2/0), also genau ein Schnittpunkt, besser: Berührpunkt, nämlich der Scheitelpunkt.
- Beispiel: erst mit 3. binomischer Formel ausrechnen x² - 4 +5 = x² +1, nach oben geöffnet, Scheitelpunkt (0/1), also keine Schnittpunkte