Wofür steht das dritte Differential und das zweite Integral einer Funktion?

Das Integral einer Funktion ist die Fläche unter der Kurve, die erste Ableitung die Steigung der Funktion und die zweite Ableitung die Krümmung. Bei einer Krümmung von 0 benötigt man die 3. Ableitung um einen Sattelpunkt zu finden.

Haben die dritte Ableitung oder das zweite Integral auch eine anschauliche Bedeutung?

Answer 1

[evtldocha]

Das Integral einer Funktion ist die Fläche unter der Kurve,

Nur zur Klarheit: Das ist eine falsche Aussage. Integral und Fläche sind zwei unterschiedliche Dinge und die Aussage ist nur für den Fall korrekt wenn f(x) ≥ 0 im gesamten Integrationsbereich.

Anschaulich: Betrachte die Funktion $f\left(x\right)=x$

Dann ist $\int_{_{-1}}^{^1}x\ dx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]_{_{-1}}^{^1}=0$

Die eingeschlossene Fläche ist aber: $A=\left|\int_{_{-1}}^{^0}x\ dx\right|+\int_{_0}^{^1}x\ dx\ =\left|\left[\frac{1}{2}x^2\right]_{_{-1}}^{^0}\right|+\left[\frac{1}{2}x^2\right]_{_0}^{^1}=1$

Skizze:

Anmerkung: Man spricht wegen des Vorzeichens des Integrals auch von einer "orientierten Fläche". Insgesamt allerdings sollte man diese Quasi-Gleichsetzung von Integral und Fläche vermeiden, weil der Integralbegriff weit mehr umfasst als "Flächenberechnung". Die Flächenberechnung ist lediglich eine Anwendung des Integrals.

Haben die dritte Ableitung oder das zweite Integral auch eine anschauliche Bedeutung?

Zur dritten Ableitung fällt mir nur ein Begriff aus der Physik ein: Wenn man den zurückgelegten Weg "s" als Funktion der Zeit "t" betrachtet, dann ist

• 1. Ableitung = Geschwindigkeit
• 2. Ableitung = Beschleunigung
• 3. Ableitung = Ruck

Ansonsten beschreibt die dritte Ableitung eben die Änderung der zweiten und damit der Krümmung (Anschaulich vielleicht: Beim Kurvenfahren spricht der Autofahrer gerne davon, dass eine Kurve "immer enger" wurde, was bedeutet, dass der Krümmungsradius der Kurve immer kleiner wird).

Answer 2

[zalto]

In der Kinematik haben höhere Ableitungen des Ortes nach der Zeit eine Bedeutung.

1. Ableitung: Geschwindigkeit

2. Ableitung: Beschleunigung

3. Ableitung: Ruck

4. Ableitung: Snap

5. Ableitung: Crackle

6. Ableitung: Pop

Durch mehrfache Hochintegration kommt man dann wieder zurück zur Bewegungsgleichung.

Answer 3

[TBDRM]

Ist mir nicht bekannt - sowohl Ableitung als Integral.

Man kann natürlich Schlüsse auf die vorherigen Ableitungen o.s. ziehen, aber eben nichts wirklich Anschauliches für die Ausgangsfunktion.

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)