Wieso sind die Quersummen von quadratzahlen immer 1 4 7 oder 9?
Richtig gelsen:
1 1
4 4
9 9
16 7
25 7
36 9
49 4
64 1
81 9
100 1
121 4
144 9
169 7
196 7
225 9
.....
Danke
5 Antworten
Voraussetzung zum Verständnis:
Quersumme(n) = n mod 9 = Rest, der bei der Division durch 9 übrig bleibt.
Dass eine Zahl durch 9 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist wird häufig im Gymnasium dargestellt.
Der Grund für die obige Aussage liegt in folgendem allgemeinem Zusammenhang:
a^2 mod p = [(a mod p) * (a mod p)] mod p .
Für a mod 9 kann sich zwar jede Zahl ergeben aber für a°2 mod 9 können sich nur die Lösungen 1, 4 , 7 , 9 ergeben. wenn man a mod 9 = 0 mit a mod 9 = 9 identifiziert. (Quersumme(0) = 0 )
P.S.: Ich habe meine Antwort noch ein wenig ergänzt deshalb erspart es mir bitte, dies jetzt noch weiter zu erklären! Wie ich gerade sehe wurden weitere Erklärungen inzwischen gegeben.
Die iterierte Quersumme einer natürlichen Zahl ist gleich deren Rest bei Division durch 9, bzw. gleich 9, wenn dieser Rest Null ergäbe. Ein Quadrat kann bei Division durch 9 nur den Rest 0, 1, 4, 7 haben, die Null führt hier wieder zur Quersumme 9.
Sorry! Deine Antwort war noch nicht sichtbar, als ich meine schrieb.
Hallo,
Vielfache von 9 haben die iterierte Quersumme 9. (Teilbarkeitsregel für 9)
Die iterierte Quersumme von 9n+a ist gleich a.
(9n±a)²=81n²±18na+a²=9•r+a²
Also hat (9n±a)² die iterierte Quersumme von a².
Da jede natürliche Zahl als 9n±a mit a=0;1;2;3;4 geschrieben werden kann, kommen nur die Quersummen von 1; 4; 9; 16 (7) und 81 (9) infrage. Wenn 0 auch als Quadratzahl angesehen wird, auch noch die Null.
🤓
Man soll aufhören wenn es am schönsten ist.
256 13
Aber bei 17² = 289 klappt es nicht mehr, oder? Oh doch, ist ja 1. Sorry, hatte ich übersehen.
Das ist dann 19, die Qs ist 10 und die Qs wieder 1. Das wird ser FS sicher auch gleich anmerken.
Das ist ja schon die Quersumme der Quersumme. Die Aufgabenstellung gibt das doch wohl nicht genau her, oder?
Dann sollte dies
https://prlbr.de/2015/quadratzahlen-modulo-3/
zusammen mit diesem
In base 10, this is equivalent to taking the remainder upon division by 9
dem Nutzer einen wertvollen Hinweis geben.
168²=28224 Qs=18
Und die quersumme daraus? 4 oder ?