Konvergenz und Grenzwert nachweisen?
Berechnen Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert oder begründen Sie, weshalb der jeweilige Grenzwert nicht existiert.
Brauch mal Hilfe bei der Aufgabe. Doof gefragt wenn x gegen 0 geht, ist der GW nicht dann auch 0?
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eterneladam/1673990853932_nmmslarge__0_0_3023_3024_b3ab443b0f60481e81ea92643ef07370.jpg?v=1673990854000)
"Ohne L' Hospital" schreibt man die Exponentialreihe aus,
Summe( n=0, unendlich, (x log(a))^n / n! ).
Ziehe 1 ab, das ist der Term mit n=0, und dividiere durch x,
(a^x - 1) / x = Summe( n=1, unendlich, x^(n-1) log(a))^n / n! )
Für x gegen 0 bleibt nur der Term für n=1 stehen.
Für die Vertauschung des Grenzübergangs (n gegen unendlich / x gegen 0) muss man die absolute Konvergenz der Reihe verwenden.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Hilft das weiter?
https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_L%E2%80%99Hospital
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
weil das extra so gefordert ist bei mir. Mal gucken ob du das ohne kannst
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
Hallo,
der Grenzwert ist ln(a).
Benutze de l'Hospital, indem Du Zähler und Nenner getrennt ableitest:
ln(a)*a^x/1 ergibt für x=0 ln(a).
Falls Du nicht weißt, wie man a^x ableitet:
Schreibe a^x zu e^(ln(a^x))=e^(x*ln(a)) um.
Ableitung nach der Kettenregel ist ln(a)*e^(ln(a^x))=ln(a)*a^x.
Herzliche Grüße,
Willy
Ohne L' Hospital