Unendlich ist keine Zahl: Warum darf man mit ∞ rechnen?

Warum darf man in der Mathematik mit ∞ rechnen?
∞ ist keine Zahl, sondern ein Konzept eines nie endenden Prozesses bei dem eine Zahl imaginär immer größer ist/wird als vorher.
Es ist keine klare Zahl und trotzdem heißt es, ∞+x=∞, obwohl richtiger wäre ∞+x=∞+x.
In der Formel dürften keine nicht klaren Konzepte stehen, weil es auch dem widerspricht, dass bei der Addition einer Zahl mit einer Zahl x>0 nicht wieder dieselbe Zahl als Ergebnis rauskommt. Das es bei ∞ so ist liegt daran, dass es keine Zahl ist.
Mit π kann auch nicht gerechnet werden, außer wenn π gerundet wird. Es ist ein Konzept einer immer präziser werdenden Zahl.
Es kann zwar zb aufgeschrieben werden: π·x=y aber wenn man y tatsächlich berechnen will, muss π gerundet werden.
Sollte man die Regel in der Mathematik korrigieren und die Regel einführen, dass mit ∞ nicht gerechnet werden kann.
Durch 0 darf man auch nicht teilen, sonst würde auch ∞ als Ergebnis rauskommen.
Warum darf man durch 0 nicht teilen, aber durch ∞ schon? Macht kein Sinn

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

man darf mit unendlich nicht in dem Sinne rechnen, daß unendlich+unendlich=2*unendlich oder unendlich-unendlich=0.

Das funktioniert nicht. Man kann aber sagen, daß das Ergebnis einer Zahl ungleich Null, die durch unendlich geteilt wird, gegen Null geht oder daß 0,9999...999 mit unendlich vielen Neunen hinter dem Komma gleich 1 ist.

Unendlich tritt also da auf, wo es um Grenzwerte geht. Aber rechnen im klassischen Sinne geht damit nicht.

Und: Nein, man kann und soll hier auch keine mathematischen Regeln umschreiben.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 2

[LORDderANALYSE]

Vorab:

Ich denke, dass du ein vollkommen falschen Verständnis von unendlich großen Zahlen hast. Wenn du dich dafür interessierst dann würden dich transfinite Zahlen / transfinite Arithmetik und die Mengenlehre bestimmt begeistern.

Zudem verstehst du grundlegende Sachen über irrationale Zahlen nicht ganz.

Warum darf man in der Mathematik mit ∞ rechnen?

Da Arithmetik (siehe transfinite Arithmetik).

∞ ist keine Zahl, sondern ein Konzept eines nie endenden Prozesses bei dem eine Zahl imaginär immer größer ist/wird als vorher.

Nein.

Lassen wir den Punkt mit den Prozess weg beschreibst du die absolute Unendlichkeit (siehe transfinite Zahlen).

Es ist keine klare Zahl

Naja. Mit "∞" ist nicht klar welche Unendlichkeit gemeint ist, dennoch ist eine klare aka scharfe Zahl. Andern Falls wäre es eine Fuzzy Zahl (in duetschen öfters unscharfe Zahlen genannt), was sie aber nicht ist, da sie nur einen bestimmten Wert haben kann.

trotzdem heißt es, ∞+x=∞, obwohl richtiger wäre ∞+x=∞+x.

Ist x reell, dann sind beide Gleichungen für die absolute Unendlichkeit richtig, aber für transfinite x hast du natürlich recht.

In der Formel dürften keine nicht klaren Konzepte stehen, weil es auch dem widerspricht, dass bei der Addition einer Zahl mit einer Zahl x>0 nicht wieder dieselbe Zahl als Ergebnis rauskommt.

Das stimmt nicht. Das immer wieder das gleiche raus kommt nennt man bei Folgen auch absolute Konvergenz und ist ein wichtiges Konzept der Mathematik, hingegen zur Unendlichkeit. Das kannst du auch schnell bei Grenzwert-Betrachtungen finden.

Unklare Konzepte stehen auch in der Regel nicht in einer Gleichung, wie hier auch nicht.

Mit π kann auch nicht gerechnet werden, außer wenn π gerundet wird. Es ist ein Konzept einer immer präziser werdenden Zahl.

Es kann zwar z.B. aufgeschrieben werden: π·x=y aber wenn man y tatsächlich berechnen will, muss π gerundet werden.

Natürlich geht das:

   π - π = 0
     π^0 = 0
     π^1 = π
  sin(π) = 0
  cos(π) = -1
exp(π i) = -1

Auch bei nicht so degenerierten Fällen geht das.
Du kannst sie nur nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen.

Es gibt aber viele andere Darstellungsmöglichkeiten, wie z.B. durch geometrische Reihen z.B.

als Kettenbruch

oder Funktionen

Sie sind alle eindeutig, scharf und ganz besonders ist pi kein Konzept, sondern eine irrationale Zahl.

Sollte man die Regel in der Mathematik korrigieren und die Regel einführen, dass mit ∞ nicht gerechnet werden kann.

Nein aber man sollte mal mehr und qualitativ hochwertigere Mathematik in der Schule lehren.

Durch 0 darf man auch nicht teilen, sonst würde auch ∞ als Ergebnis rauskommen. Warum darf man durch 0 nicht teilen, aber durch ∞ schon?

Nein. Nicht auch nur annährend.

Durch Axiome gilt unser Distributivgesetz. Würden wir durch 0 teilen können, wäre das Distributivgesetz nicht wahr, was ein Wiederspruch ist, also geht es nicht.

Es gilt nur:

$\lim_{x\to0^+}\ \frac{1}{x}=\infty$

$\lim_{x\to0^-}\ \frac{1}{x}=-\infty$

und bei beiden Teilt man nicht durch 0.

Man kann viele Zahlen durch transfinite Zahlen teilen, weil für die meisten Zahlen keine Wiedersprüche auftauchen.

Macht kein Sinn

Macht zu 100% sinn, ansonsten wäre vieles in der modernen Physik und Mathematik falsch.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium

Answer 3

[Jangler13]

Es ist keine klare Zahl und trotzdem heißt es, ∞+x=∞

Es ist keine Rechnung, sondern eine Konvention um das Ergebnis von Grenzwerten schneller bestimmen zu können.

∞+x=∞

Bedeutet, dass wenn man eine Folge a_n hat, die gegen unendlich geht und b_n die gegen eine konstante geht, dass dann die Summe gegen unendlich geht.

Mit π kann auch nicht gerechnet werden, außer wenn π gerundet wird.

In theoretischer Sicht kann damit berechnet werden, für die Theorie ist vollkommen irrelevant, dass ein Mensch es nicht per Hand hinbekommt.

Durch 0 darf man auch nicht teilen,

Nein, man darf durch 0 nicht teilen, weil sonst die Axiome der Reellen Zahlen verletzt werden.

Es gibt andere Zahlenstrukturen, wo die Division durch 0 und durch unendlich erlaubt sind. Zum Beispiel die Riemannsche Zahlenkugel. In den Reellen Zahlen geht das jedoch nicht, da ist vor allem unendlich keine Zahl, sondern eher eine Bezeichnung für eine Eigenschaft.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Answer 4

[DerRoll]

Es ist nicht deine Aufgabe und auch nicht meine an mathematischen Regeln etwas zu ändern. Der Weg der Mathematik zum "Unendlichen" war ein langer und steiniger, bei dem viele Fallen entschärft und auch viele Konflikte gelöst werden mußten. Wenn du wirklich Interesse am Thema hast empfehle ich dir

https://www.buecher.de/shop/mengenlehre/unendlichkeiten/heuser-harro/products_products/detail/prod_id/22131385/

dort wird die Geschichte des Umgangs mit dem Unendlichen auf die Heuser eigene heitere und lockere, aber mathematisch stets exakte, Art beschrieben.

Deine Ausführungen zeigen ein grundsätzliches Unverständnis zum Thema höhere Mathematik, es würde zu weit führen dies hier alles auszuführen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 5

[SoIid]

Wenn man zu einer unendlich großen Menge eine endliche Zahl addiert, bleibt die Menge immer noch unendlich groß, und es ändert sich nichts an der Unendlichkeit der Menge.

Daher stimmt ∞+x=∞