Wieso konvergiert die harmonische Reihe nicht?
Hi,
ich habe im Grunde genommen schon verstanden, warum die harmonische Reihe nicht konvergieren kann, verstehe aber nicht so ganz wie das mit der Definition von Konvergenz übereinstimmt.
1/k ist doch eine Nullfolge, und man sagt doch im allgemeinen, dass eine Reihe konvergiert, wenn die Folge innerhalb der Reihe eine Nullfolge ist, oder habe ich hier etwas durcheinander geworfen?
Aber ist diese Herangehensweise, dass man einfach schaut, ob die Folge eine Nullfolge ist damit nicht komplett hinfällig?
LG:)
4 Antworten
Wenn eine Folge keine Nullfolge ist, hat die zugehörige Reihe keine Chance zu konvergieren.
Wenn eine Folge eine Nullfolge ist, dann hat die zugehörige Reihe eine Chance zu konvergieren, aber sie muss es nicht, es sind also noch beide Ausgänge möglich.
Na klar gibt es welche, siehe https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Konvergenz_und_Divergenz_einer_Reihe_beweisen:_Konvergenzkriterien
Hallo,
1/k ist doch eine Nullfolge, und man sagt doch im allgemeinen, dass eine Reihe konvergiert, wenn die Folge innerhalb der Reihe eine Nullfolge ist, oder habe ich hier etwas durcheinander geworfen?
Du hast die Schlussrichtung falsch in Erinnerung.
Wenn eine Reihe ∑ aₖ konvergiert, dann ist (aₙ) eine Nullfolge.
Die Gegenrichtung stimmt aber nicht:
"Ist (aₙ) eine Nullfolge, dann konvergiert die Reihe ∑ aₖ" ist falsch.
Ein Gegenbeispiel ist gerade die harmonische Reihe.
Aber ist diese Herangehensweise, dass man einfach schaut, ob die Folge eine Nullfolge ist damit nicht komplett hinfällig?
Dass (aₙ) eine Nullfolge ist, ist eben kein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz der Reihe ∑ aₖ .
Gruß
Hallo,
Du kannst das Quotientenkriterium anwenden, indem Du a(n+1)/a(n) teilst und den Betrag des Grenzwertes für n gegen unendlich bestimmst. Ist er kleiner als 1, konvergiert die Reihe, ist er größer, divergiert sie, ist er gleich 1, ist keine Aussage über Konvergenz über dieses Kriterium möglich.
(1/(n+1)/(1/n)=n/(n+1)=1-1(n+1).
Das geht für n gegen unendlich gegen 1. Die Reihe kann, muß aber nicht konvergent sein, obwohl 1/n eine Nullfolge ist.
Daß sie tatsächlich divergiert, siehst Du, wenn Du das Minorantenkriterium anwendest, wenn Du also eine Reihe findest, die unter der harmonischen Reihe herläuft und ihrerseits nachweislich divergiert.
Dazu gruppierst Du die harmonische Reihe folgendermaßen:
1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)...
und vergleichst sie mit folgender Reihe:
1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)...
Die zweite Reihe ist mit Sicherheit kleiner als die harmonische.
Es ist aber leicht zu ersehen, daß sie divergiert, denn sie läßt sich zu 1+1/2+1/2+1/2... zusammenfassen, was klar gegen unendlich geht.
Wenn diese kleinere Reihe aber schon divergiert, muß es die Reihe, die über der kleineren verläuft, erst recht tun.
Herzliche Grüße,
Willy
Ja, du hast was durcheinander gebracht. Dass a_n eine Nullfolge ist, ist notwendig, aber nicht hinreichend. D.h. wenn die Reihe konvergiert kannst du schließen dass a_n eine Nullfolge ist. Wenn a_n eine Nullfolge ist, darfst du NICHT schließen dass die Reihe konvergiert.
Vielen Dank für deine schnelle Antwort:)
Weisst du vllt ob es "handfeste" Kriteriren gibt, an denen man das festmachen kann, oder muss man dass immer an der Partialsumme abgucken?