Ergebnis aus Nullfolge und beschränkte Folge?
-Seien (an)n eine Nullfolge und (bn)n eine beschränkte Folge in R. Zeigen Sie: lim
n→∞ an · bn = 0.
-Ich weiß dass eine Nullfolge gegen den Grenzwert 0 konvergiert.
-Bei der beschränkten Folge existiert eine endliche obere- und untere Schranke und auch ein Infimum und Supremum
-Erste Frage bn muss nicht konvergieren oder?
-So wie ich grade denke ist der Lim von an = 0 und mit dem Satz vom Nullprodukt kommt einfach 0 raus egal was bn liefert? Aber das ist warscheinlich gaaanz falsch und weit entfernt von der Lösung. Hat wer ideen?
2 Antworten
Erste Frage bn muss nicht konvergieren oder?
Nein muss nicht, (-1)^n ist zum Beispiel Beschränkt, die Folge konvergiert aber nicht.
und mit dem Satz vom Nullprodukt kommt einfach 0 raus egal was bn liefert?
Der Satz vom Nullprodukt ist hier irrelevant, da du hier keine Gleichung löst.
Und nein, es ist nicht egal, was b_n liefert, es ist hier wichtig, dass b_n beschränkt ist. Wenn b_n unbeschränkt wäre, kann ein anderer Grenzwert rauskommen (z.b bei a_n = 1/n und b_n = n)
Du musst diese Eigenschaft nutzen:
Bei der beschränkten Folge existiert eine endliche obere- und untere Schranke und auch ein Infimum und Supremum
Und den Einschnürungssatz
Es gibt ein M in lR mit |b_n| =< M für alle n in lN.
Sei eps > 0. Wühle N in lN mit
|a_N| < eps/M.
Schätze nun für alle n >= N
|a_n • b_n|
nach oben ab.