Wieso guckt man beim Nah- und Fernverhalten (bei ganzrationalen Funktionen) nur auf den größten bzw. kleinsten x-Exponenten?
Könnte es nicht sein, dass die Vorzeichen zwischen den Summanden dafür sorgen, dass am Ende der Funktionswert doch negativ oder positiv wird, wie hat man herausgefunden, dass dem nicht so ist, wie hat man sich das hergeleitet?
Z.B. f(x)=x^4-x^3-x^3-x^3-x^3 woher weiß man, dass f(x) nicht negativ ist für x gegen unendlich
Ok in diesem Fall könnte man kürzen sehe ich gerade
4 Antworten
Man kann jedes Polynom durch Ausklammern in ein Produkt umschreiben:
Nun kann man das Verhalten der beiden Faktoren im Unendlichen betrachten und die jeweiligen Grenzwerte miteinander multiplizieren.
Der Klammerausdruck geht hierbei immer gegen a_1, da die Brüche für betragsmäßig große x alle gegen 0 streben. x^n geht entweder gegen plus oder minus unendlich. Salopp gesagt hat man im Unendlichen dann entweder den Ausdruck "a_1 * unendlich" oder "-a_1 * unendlich" (beides mathematisch unsauber notiert!), was dann insgesamt un
f(x)=x⁴-x³ = x⁴(1 - 1/x)
Lassen wir x nun sehr groß werden, dann strebt x⁴ gegen unendlich und 1 - 1/x gegen 1. Man sieht dabei, dass der Term 1/x, der aus dem Glied x³ entstanden ist, gegen 0 strebt. also unwichtig wird im Vergleich zum Term 1, der aus dem Glied x⁴ entstanden ist. x⁴ strebt also quasi schneller gegen unendlich als x³.
Beispiel:
a * x^n - b * x^(n-1) = x^n * ( a - b/x) . Für x -> unendlich geht b/x gegen Null
Naja, wenn du die Verhältniss ein Funktion im unendlichen prüfen willst, musst du dann für x unendlich einsetzen, und natürlich können negative Werte rauskommen, du musst halt nur Lim -> unendlich benutzen
Ja, aber das war ja nicht meine Frage oder verstehen wir uns falsch