Das geht generell immer, wenn du einen Ausdruck der Form f(x)+g(x) als Integranden hast. Analog dazu gilt auch ∫ a * f(x) dx = a * ∫ f(x) dx, wobei a eine reelle Zahl ist.

Wolfram Alpha sagt das hier:

Dazu habe ich hier die y-Werte eingetragen.

Der Graph sieht dann so aus:

Die beiden bisherigen Antworten verwenden Ableitungen. Wenn ihr das noch nicht hattet, geht es auch ohne.

Die Scheitelpunktform lautet ja f(x) = a(x-d)²+e, wobei d und e hier die x- bzw. y-Koordinate des Scheitelpunktes sind.

Hier gilt also f(x) = a * (x+0,5)²-17.

Um die Werte für die allgemeine Form zu bekommen, macht es Sinn, f(x) erst einmal in diese Form zu überführen. Hier muss man a jetzt erstmal als Konstante "mitschleppen" und schauen, was sich machen lässt. Zuerst wende ich die erste binomische Formel an:

f(x) = a * (x² + 2 * x * 0,5 + 0,5²) - 17

Nun zusammenfassen:

f(x) = a * (x² + x + 0,25) - 17

Nun löse ich die Klammer auf, indem ich den Term gemäß dem Distributivgesetz ausmultipliziere:

f(x) = a*x² + a*x + a*0,25 - 17

Sooo, das sieht doch schon mal ein bisschen nach der allgemeinen Form aus; da fehlen jetzt nur b und c drin...

Aber die Struktur stimmt doch schonmal: Man hat a*x², irgendwas mit x und einen Rest ohne x.

In der allgemeinen Form ist die Zahl vor dem x ja b; da hier vor dem x aber nun a steht, muss a=b gelten. Soll heißen: Wenn wir irgendwie a (oder b) herausfinden können, haben wir auch automatischen den anderen Wert.

Das Zeug ohne x ist hier interessant: Das wäre hier ja a*0,25 - 17. Das ist nun unser c aus der allgemeinen Form; praktischerweise ist aber c=-16 vorgegeben! Wir können also a*0,25 - 17 = -16 aufstellen und nach a lösen.

a * 0,25 - 17 = -16 | + 17

a * 0,25 = 1 | :0,25

a = 4

Und damit haben wir dann die allgemeine Form, denn nun kennen wir auch b: Aus a=b und a=4 folgt natürlich b=4 und insgesamt ergibt sich

f(x)=4x²+4x-16

Zu diesem Verfahren findest du online unter dem Stichwort "Koeffizientenvergleich" mit Sicherheit noch weitere Seiten, die dir beim Verständnis helfen können.

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Wenn a vorgegeben ist, ist die ganze Sache viel leichter. Dann musst du ja nur die Scheitelpunktform ausmultiplizieren (siehe oben) und hast direkt die allgemeine Form.

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Wenn b vorgegeben ist, ist es ähnlich zu dem Vorgehen für c. Dann setzt du eben die Werte vor dem x mit dem vorgegebenen Wert gleich und nicht die Werte ohne x. Dadurch bekommst du dann a raus und kannst c berechnen.

Du hast hier ja ein Produkt zweier Funktionen, nämlich einmal x² und einmal e⁻³ˣ.

Hier kannst du leider nicht die einzelnen Faktoren ableiten und miteinander multiplizieren. Für Produkte gibt es eine spezielle Regel, die Produktregel:

Sind u und v Funktionen, so gilt (u * v)' = u' * v + u * v'.

x² sei nun u, e⁻³ˣ sei v.

Dann ist u'=2x und v' = -3 * e⁻³ˣ

Insgesamt ergibt sich dann:

f'(x) = 2x * e⁻³ˣ + x² * (-3) * e⁻³ˣ

= e⁻³ˣ * (2x-3x²)

Im letzten Schritt wurde hier mit dem Distributivgesetz ausgeklammert.

Da wird vermutlich nicht nur 5, sondern "5!" stehen. 5! ist 5*4*3*2*1, also auch 120.

Nehmen wir einfach mal irgendeine Zahl a. Sicherlich gilt dann doch a + (-a) = 0.

Jetzt nehmen wir noch irgendeine Zahl b, die nicht 0 ist, und multiplizieren beide Seiten dieser Gleichung mit -b:

( a + (-a) ) * (-b) = 0 * (-b)

Jetzt etwas vereinfachen:

-(a*b) + (-a) * (-b) = 0

Jetzt sieht man ja eigentlich schon, dass a*b = (-a) * (-b) sein muss, damit die Gleichheit gilt.

Das ist (mit etwas "Handwaving") ein Beweis, der im Prinzip nur die Peano-Axiome benutzt.

Im Allgemeinen gilt ja für z=a+bi ja

 Wegen i = 0+1*i ist dann



Was kommt denn raus, wenn du auf beiden Seiten quadrierst? Erinnere dich daran, dass du am Ende zu zeigen hast, dass n eine Quadratzahl ist - kannst du den Ausdruck, der durch das Quadrieren entsteht, vielleicht als Quadratzahl darstellen?

Ja.

|b-a|= | -1*(a-b)| = |-1| * |a-b| = |a-b|.

Eine solche Funktion existiert immer (zumindest solange die Punkte alle verschiedene x-Koordinaten haben) und ist eindeutig. Die Existenz ist knifflig zu beweisen, aber letzten Endes kann man zeigen, dass es für n Punkte immer eine Funktion vom Grad n-1 gibt, die durch diese Punkte verläuft.

Die Eindeutigkeit ist hingegen recht simpel zu beweisen:

Angenommen, es gibt zwei Funktionen, die durch die vorgegebenen n Punkte gehen. Ich nenne diese Funktionen mal f(x) und g(x), und f(x) soll die Funktion mit dem höheren Grad sein. (Wenn beide Funktionen den selben Grad haben, ist es egal, welche Funktion f und welche g ist).

Dann hätte die Funktion f(x)-g(x) ja höchstens den Grad von f(x),also n-1.Zeitgleich hat diese Differenzfunktion aber genau so viele Nullstellen, wie Punkte vorgegeben sind. Für diese Punkte gilt ja gerade f(x)=g(x), also f(x)-g(x)=0. Somit hat f(x)-g(x) an jedem der vorgegebenen Punkte eine Nullstelle.

Nun hat man hier aber eine Funktion, die mehr Nullstellen als ihr Grad hat. Eine Funktion vom Grad k kann aber maximal k Nullstellen haben. Hierbei gibt es eine Ausnahme: Das Nullpolynom. Das ist einfach eine Funktion, die jeden x-Wert auf 0 abbildet, d.h. h(x)=0 für alle x.

Es muss also f(x)-g(x) = h(x) = 0 für alle x gelten. Daraus folgt dann natürlich unmittelbar f(x)=g(x). Also ist f(x) eindeutig.

Deine Zielfunktion stimmt soweit. Jetzt musst du nur noch schauen, für welches a die Funktion ihr Maximum annimmt.

Die Maße ergeben sich dann aus dem Doppelten von a (da das Rechteck ja von der y-Achse in zwei Teile geteilt wird) und dem Funktionswert der Funktion f an der Stelle a.

Für den Flächeninhalt des Dreiecks brauchst du ja die Formel Grundseite * Höhe / 2. Wegen der Gleichschenkligkeit des Dreiecks sollte die Grundseite bekannt sein; diese ist dann einfach k. Für die Höhe muss man etwas tricksen.

Stell dir mal vor, dass du von der Spitze bis zur Grundseite eine Linie ziehst. Diese Linie teilt das Dreieck dann in zwei rechtwinklige Dreiecke auf, die k/2 und die Höhe h als Katheten und k als Hypotenuse haben. Gemäß dem Satz von Pythagoras gilt dann k²=(k/2)²+h²

Das ganze stellt man nun nach h um:

h² = k²-(k/2)², also h² = k² - k²/4 und somit h=√( k²-(k/2)²) Wenn man jetzt den Ausdruck unter der Wurzel zusammen rechnet, steht da h=√ (k² - k²/4), bzw. h=√(3/4*k²), da k²-k²/4 eben 3/4*k² ist. Jetzt kann man aus 3/4 * k² noch die Wurzel ziehen, das kann man hier komponentenweise machen: Die Wurzel aus 3/4 ist √3 / 2, die Wurzel aus k² ist k, insgesamt also h=√3 / 2 * k.

Dadurch kommt man dann gemäß der Flächenformel auf den Flächeninhalt des Dreiecks: Dreiecksfläche = 1/2 * k * h, also 1/2 * k * √3 / 2 * k, bzw. wenn man die Reihenfolge der Faktoren ändert und die Brüche zusammenrechnet, √3 / 4 * k²

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Jetzt kommt meiner Meinung nach ein Fehler in der Berechnung; der Gedankengang ist hier: Spitzbogenfläche minus Kreisflächen gleich blaue Fläche. Das ist auch genau der richtige Gedanke, aber es wurden hier aber die Kreisflächen von der Dreiecksfläche abgezogen. Diese ist aber nicht die Spitzbogenfläche, da hier noch die zwei gekurvten Stückchen über dem Dreieck fehlen!

Hier nochmal ein Bild, um es etwas einfacher zu machen. Die rot ausgemalte Fläche nenne ich mal S (ich war zu faul, links jetzt auch noch auszumalen), und wenn man jetzt eben die beiden S und die Dreiecksfläche zusammenrechnet, hat man die Fläche des Spitzbogens. Wenn man aus der Spitzbogenfläche nun die ganzen Kreise rausschneidet, bekommt man genau die blaue Fläche.

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Hier wäre mein Vorschlag:

Für die Fläche muss nun also gelten:



Dreiecksfläche? Kennen wir. Die ganzen Kreisflächen? Kennen wir. Fehlt nur noch S. das ist wieder etwas tricky.

Guck dir mal die grüne Fläche an, die in der Lösung ist. Diese ist ja mit 1/6 * k² * pi bekannt und setzt sich aus der Dreiecksfläche ( √3 / 4 * k² ) und einem Stückchen (S) zusammen, also muss doch gelten:



Umstellen ergibt



Somit hat man letztendlich:

i 8 sum pi; I ate some pie. Vielleicht mag er den ja mit dir teilen.

Man kann das nur so richtig verstehen, wenn man die Umformung von der Normalform in die Scheitelpunktform macht. Um ziemlich viel Termrechnung kommt man leider nicht herum:



a ausklammern:



Quadratische Ergänzung:



Erste binomische Formel:



Ausmultiplizieren:



Mit der Belegung d = -b/(2a) und e= -b²/(4a)+c kommt man dann auf die Scheitelpunktform.

Deine Frage ist ja nun, wieso man d so belegt, dass in der Scheitelpunktform -d und nicht +d vorkommt.

Schauen wir uns dazu mal die Nullstellen der Funktion an. Gemäß der Mitternachtsformel gilt für die Nullstellen x1 und x2:



Die x-Koordinate des Scheitelpunkts liegt genau zwischen den beiden Nullstellen. Man muss also nur noch herausfinden, welche Zahl zwischen den beiden Nullstellen liegt. Allgemein macht man das ja, indem man die entsprechenden Werte addiert und das Ergebnis durch 2 teilt. Genau so geht es hier. Ich nenne den x-Wert des Scheitelpunktes mal d. Gaaanz zufällig. :>

Jetzt einfach etwas zusammenfassen. Man darf hier nur nicht mit den Brüchen durcheinanderkommen:

...und deshalb kommt in der Scheitelpunktform -d und nicht d vor. Das d, auf das man durch diese Mittelwertberechnung kommt, ist nämlich eben -b/(2a), aber in der Scheitelpunktform kommt +b/(2a) vor. Deshalb muss es in der Scheitelpunktform dann eben -d sein.

Ich mache die erste Ableitung mal vor. Für alle Ableitungen brauchst du die Produktregel (u*v)'=u'*v+u*v'.

Hier sei nun u=-t+9 und v=e^(0,5t), somit ist u'=-1 und v'=0,5*e^(0,5t) (Kettenregel)

Nun einfach einsetzen:

f'(t)=u ' *v + u* v ' =-1*e^(0,5t)+(-t+9)*0,5*(e^0,5t)

Rechts multipliziere ich zunächst die 0,5 in die Klammer rein:

=-1*e^(0,5t)+(-0,5t+4,5)*e^(0,5t)

Nun klammere ich e^(0,5t) aus, da es in beiden Summanden vorkommt:

= (-1-0,5t+4,5) * e^(0,5t)

= (-0,5t+3,5) * e^(0,5t)

So geht es jetzt auch für die nächsten beiden Ableitungen.

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Zum Integral:

Es bietet sich an, hier die Klammer auszumultiplizieren und dann einzeln zu integrieren. Also:

∫ (-t+9)*e^(0,5t) dt = ∫ -t*e^(0,5t) dt + ∫ 9*e^(0,5t) dt

Das zweite Integral ist einfach: Bei der Ableitung käme ja ein 0,5 als Multiplikation rein, beim Integrieren muss man es genau rückwärts machen, also einfach durch 0,5 teilen (was das selbe ist, wie mal 2 zu rechnen).

[Wenn dir das als Argumentation zu fadenscheinig ist, kann man es auch über die Integralsubstitution machen. Setzt man nämlich u=0,5t, so ist nach Leibniz-Schreibweise die Ableitung du/dt = 0,5 bzw. du/0,5 = dt bzw. 2du = dt.

Dann kann man ∫ 9*e^(0,5t) dt zu ∫ 9 e^u * 2du umschreiben, was dann ∫ 18 e^u du ist, und da die Stammfunktion der e-Funktion wieder die e-Funktion ist, hat man dann insgesamt ∫9*e^(0,5t) = 18 * e^(0,5t)]

Damit ergibt sich dann als Zwischenergebnis:

∫ (-t+9)*e^(0,5t) dt = - ∫ t*e^(0,5t) dt + 18 * e^(0,5t)

Jetzt muss man also nur noch ∫ t*e^(0,5t) dt herausfinden. Hier führt leider nur die partielle Integration zum Ziel. Diese besagt für Funktionen g und f:

∫ f(x) * g ' (x) dx = f(x)*g(x) - ∫ f ' (x) * g(x) dx

Das ist quasi die Umkehrung der Produktregel. Im Klartext: Wenn man eine Funktion besonders leicht integrieren und die andere besonders leicht ableiten kann, so kann man das Integral ihrer Multiplikation auch leicht errechnen.

Hier haben wir nun den Fall t * e^(0,5t), wovon wir das Integral haben wollen. Wenn wir nun f=t und g=2*e^(0,5t) [und somit g ' = e^(0,5t)] definieren, so haben wir in dem Integral, das wir ja nun berechnen wollen, nämlich ∫ t*e^(0,5t) dt, die Form ∫ f * g'. Dasd man f und g so definiert, ist Erfahrungssache. Würde man es anders herum definieren, wäre das Integral im nächsten Schritt noch schwieriger.

Das kann man jetzt alles einsetzen:

∫ t*e^(0,5t) dt = t * 2 * e^(0,5t) - ∫ 1 * 2 * e^(0,5t) dt

= 2t * e^(0,5t) - ∫ 2*e^(0,5t) dt

Das rechte Integral ist jetzt wieder sehr einfach. Auch wieder nur durch 0,5 teilen:

=2t * e^(0,5t) - 2/0,5 * e^(0,5t)

=2t * e^(0,5t) - 4 *e^(0,5t)

Und jetzt wieder den e-Term ausklammern:

=(2t-4)*e^(0,5t)

Damit haben wir nun insgesamt ∫ t*e^(0,5t) dt = (2t-4)*e^(0,5t) und können somit wieder unser Ursprungsintegral berechnen. Damit waren wir ja bis

∫ (-t+9)*e^(0,5t) dt = - ∫ t*e^(0,5t) dt + 18 * e^(0,5t) gekommen, und wenn wir nun ∫ t*e^(0,5t) dt = (2t-4)*e^(0,5t) da einsetzen, haben wir endlich insgesamt:

∫ (-t+9)*e^(0,5t) dt = -(2t-4)*e^(0,5t) + 18*e^(0,5t)

=(-2t+4)*e^(0,5t) + 18*e^(0,5t)

Jetzt klammer ich noch ein letztes mal e aus:

= (-2t+22) * e^(0,5t)

Praktischerweise ist sin die Ableitung von cos. Setzt man also u=cos(x), so erhält man du/dx = sin(x), bzw. dx = du/sin(x).

Eingesetzt liefert das dann

∫ cos(x)³ * sin(x) dx = ∫ u³ *sin(x) * du/sin(x) = ...

Hilft das vielleicht schon weiter? Jetzt musst du ja eigentlich nur noch zusammenfassen und das Integral ausrechnen.

Durch 2 ist schon mal gut. Dann hast du y²+3x*y+2x²=1/2. Jetzt noch 1/2 rüber und dann hast du eine normierte, quadratische Gleichung mit 0 auf einer Seite. Die kannst du dann mit einem Lösungsverfahren deiner Wahl (pq-Formel, abc-Formel, quadratische Ergänzung...) lösen.

Da wird einfach nur gezeigt, dass man den Reihenwert als geschlossenen Ausdruck angeben kann. Das bedeutet einfach, dass man die Reihe bei eingesetztem z mit |z|<1 "sofort" ausrechnen kann. Wenn du da jetzt bspw. z=0,5 einsetzt, erhält man sofort



und spart sich somit die umständlichere Berechnung des Reihenwertes.

Ja. Wenn die Grundmenge der Faktoren in der Aufgabe nicht genannt ist, hast du recht. In den reellen Zahlen lassen sich zu jeder Zahl unendlich viele Faktorisierungen finden. Teilbarkeit lässt sich deswegen auch nur "maximal" in den ganzen Zahlen sinnvoll definieren. Die Aufgabe wird hier eher auf ganzzahlige Faktoren abzielen.

Wenn du den Flächeninhalt A eines Quadrates kennst, a die Seitenlänge bezeichnet und dich dann besinnst, dass die Flächeninhaltsformel A=a² lautet, so kann man auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen. Man erhält dann √A=a, was man dann in die Umfangsformel U=4a einsetzen kann.