Wie zum Teufel berechnet man folgende Aufgabe?
f(x)=x^5-13x^3+36x
Was genau sollst du damit machen?
Nullstellen finden.
Was sollst du den machen? Sollst du es zusammenfassen oder x ausrechnen?
Nullstellen.
8 Antworten
f(x)=x^5-13x^3+36x
Für Nullstelllen gilt:
f(x) = 0
Da wir eine hohe Potenz haben, müssen wir die Nullstellen der Reihe nach aussortieren, um am Ende eine quadratische Gleichung zu haben, die man lösen kann.
x^5-13x^3+36x = x(x^4-13x^2+36)
Dieser Term wird zu 0, wenn x = 0 wird.
Also erste Nullstelle bei x = 0
Nun rechnen wir weiter mit:
x^4-13x^2+36 = 0
Da nur gerade Potenzen vorkommen, können wir substituieren x^2 = z:
z^2 - 13 z + 36 = 0
Das ist eine quadratische Gleichung, die lösbar ist:
Wir haben also:
z1 = 9
z2 = 4
Nun war ja x = √z, hier genaugenommen x = ± √z also ergibt sich:
x2 = 3
x3 = -3
x4 = 2
x5 = -2
Wir haben also insgesamt Nullstellen bei x =
0, 2, 3, -2, -3
Und so sieht die Funktion als Graph aus:
Zum Berechnen der Nullstellen musst du natürlich erstmal den Funktionsterm gleich 0 setzen:
x^5 - 13x^3 + 36x = 0 | x ausklammern
x(x^4 - 13x^2 + 36) = 0 | Satz vom Nullprodukt
x = 0 oder x^4 - 13x^2 + 36 = 0.
Die letzte Gleichung kannst du mittels Substition lösen, indem du z = x² setzt.
Und wo kommt die x^4 her? Sorry. Ich hab das Thema Substitution noch nie gehabt. Das Thema Substitution haben wir erst heute angefangen und das ist noch alles neu für mich.
Wo die x^4 herkommt hab ich nicht ganz verstanden, aber den Rest werde ich bestimmt verstehen, wenn ich länger dran sitze.
Das kommt vom Ausklammern.
Wenn ich etwa im Term 15 + 12 eine 3 ausklammern will, muss ich ja jeden der Summanden durch 3 teilen:
15 + 12 = 3 * (5 + 4).
Nun will ich im Term x^5 - 13x^3 + 36x ein x ausklammern. Dafür muss ich jeden Summanden "durch x teilen" (wenn x = 0 ist, geht das natürlich nicht, aber mit einer leicht anderen Argumentation kommt man auf dasselbe Ergebnis).
Also komme ich auf:
x^5 - 13x^3 + 36x = x * (x^5 / x - 13x^3 / x + 36x / x).
Und wenn ich jetzt x^5 / x mit Potenzgesetzen ausrechne, ist das eben x^4.
Da Du setzt die Gleichung gleich Null
0=x⁵ - 13x³ + 36x
0= x(x⁴-13x²+36)
Und jetzt schaust du die Gleichung ergibt Null wenn das X forne oder die Klammern Null ergeben du must schauen für welche Zahl das ist
Ps: hier sind nur gerade Exponenten weshalb die nullstellen auf beiden Seiten gleich sein dürften also -3 und 3....
Wenn es um die Nullstellen geht: x ausklammern, dann substituieren (z=x²). So erhältst Du einen quadr. Term, den Du mit der pq-Formel lösen kannst. Am Ende wieder re-substituieren, d. h. z1=x² und z2=x² jeweils nach x auflösen.
Nullstellen:
1) x ausklammern (Satz vom Nullprodukt anwenden)
2) Substitution oder eine Nullstelle raten und Polynomdivision ...
Ach. So einfach? 😳 Toll. Darauf wäre ich am Anfang nie gekommen, aber jetzt sieht es doch ganz einfach aus. Naja. Das liegt wohl daran, dass wir das Thema Substitution noch nie gehabt haben und erst heute da mit angefangen haben. Und das Ausklammern hab ich total verlernt. Ich sollte mal mehr pauken.