Wie könnte eine solche folgende Funktionenfolge aussehen?
fn ist stetig differenzierbar für alle n, fn konvergiert gleichmäßig und f ist nicht diffbar
dabei sind fn/f auf [0,1] in die reellen Zahlen definiert
2 Antworten
Für eine nicht-differenzierbare ist die Betragsfunktion das naheliegendste Beispiel. In dem Fall müsste man die Funktion so verschieben, dass der Knick im Inneren vom Definitionsbereich liegt.
Als Hinweis ein Funktionsterm, der eine Ähnlichkeit mit der Betragsfunktion hat, aber wo der Knick abgerundet ist:
Könnte man also könnte man |x-1| als Grenzfunktion nehmen und was wäre dafür die Funktionenfolge?
Bei |x-1| wäre der Knick am anderen Rand vom Definitionsbereich, was dieselbe Funktion wie -(x-1) ergeben würde. Bei |x-½| wäre der Knick dagegen in der Mitte.
( √((x-½)²+1/n) )_n wäre die Funktionenfolge dazu. Noch zu zeigen ist, dass sie tatsächlich gleichmäßig gegen |x-½| konvergiert.
Ich denke, es würde mit der Funktionenfolge fn(x) = x^n Funktionieren mit f(x)=0 für x=[0;1) und 1 für x = 1
Das wäre keine gleichmäßige Konvergenz da immer sup |f_n - f| = 1. Man kann x = y^(1/n) für beliebige 0 <= y < 1 wählen. An der Stelle x hat man dann den Abstand x^n = (y^(1/n))^n = y.
Wenn man nur nah genug an die 1 rangeht, findet man also immer eine Stelle mit einem Mindestabstand von z.B. 1/2, wodurch die Funktionsfolge nicht gleichmäßig konvergiert.
Also wäre dies eine nicht diffbare Grenzfunktion und was wäre die passende Funktionenfolge?