Funktion die nicht differenzierbar ist?
Hey!
Ich frage mich, ob es denn eine Funktion gibt, welche monoton fallend und stetig ist, welche aber nicht differenzierbar ist.
Gibt es solch eine Funktion?
3 Antworten
Ja.
Ein einfaches Beispiel: Betrachte die reelle Funktion f mit ...
f(x) = -x, wenn x < 0
f(0) = 0
f(x) = -2x, wenn x > 0
Diese ist stetig und monoton fallend (sogar streng monoton fallend). Die Funktion ist jedoch nicht differenzierbar, da die Funktion an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar ist. (Da ist eine "Knickstelle" bei x = 0.)
Hallo,
klar,
wenn der Graph wie eine Treppe aussieht, wobei die Übergänge zwischen den Stufen nicht senkrecht sind (dann wäre es keine Funktion mehr), sondern etwas schräg nach unten führen.
Da die Übergänge zu den Stufen jedes Mal einen Knick aufweisen, ist die Funktion zumindest an diesen Stellen nicht differenzierbar, weil links- und rechtsseitiger Grenzwert der Ableitung nicht übereinstimmen.
Du könntest also irgendetwas mit einer Gaußklammer basteln, um eine solche Funktion zu finden.
Herzliche Grüße,
Willy
Einfaches Beispiel:
-2x-|x|
für negatives x enspricht das der Funktion -2x-(-x) = -2x+x = -x
für positives x entspricht das der Funktion -2x-x = -3x
Diese Funktion ist stetig, streng monoton fallend und hat für negative x die Steigung -1 und für positive x die Steigung -3.
Die Funktion "knickt" also bei x=0 und ist dort nicht differenzierbar.
Edit: sehe gerade @mihisu hat etwas Ähnliches vorgeschlagen.
Bei meiner Antwort hast du die Funktion dann in geschlossener Form gegeben.
Muß man nicht differenzierbar und stetig differenzierbar unterscheiden?