Wie genau löst man diese Aufgabe?
Wir betrachten die Halbkugelfläche F := {(x, y, z) ∈ R³ | x² + y² + z² = 1, z ≥ 0}.
Weiter sei f : R³ → R mit f(x, y, z) := x²y²z.
Berechnen Sie
F
Wir müssen eine Fläche berechnen, haben in f(x,y,z) aber x y und z. Hab mit Zylinderkoordinaten gearbeitet und Integralgrenzen von phi und r herausgefunden. Aber f(x,y,z) ist in kartesischen Koordinaten. Ich kann nicht nach phi und r integrieren, wenn die Funktion nur x, y und z hat.
4 Antworten
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Nimm Kugelkoordinaten mit folgender Transformationsvorschrift
Oberflächeninfinitesimal:
mit den Grenzen für
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Dennoch steht bei x, y und z was anderes und ein anderer Winkel. Kann man das einfach so umformen? und warum geht teta nur bis pi/2 und nicht pi weil es eine Halbkugel ist.
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weil es eine Halbkugel ist.
Ja, genau. theta=0 ist der Nordpol theta=pi/2 ist der Äquator.
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und ein anderer Winkel
Stimmt. Da habe ich mir einen Fehler erlaubt. cos(theta) muss gegen sin(theta) und sin(theta) muss gegen cos(theta) ausgetauscht werden. Sorry.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Normalerweise lautet die Transformationsvorschrift:
wie kommst du auf diese Transformationsvorschrift?
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Du solltest eine Koordinatentransformation von kartesischen auf Kugelkoordinaten durchführen. Dann wird die Integration sehr einfach: über r brauchst Du nicht mehr zu integrieren, da r = 1 (Halbkugel mit Radius 1), phi geht einmal rum um den Einheitskreis in der x-y-Ebene von 0 bis 2pi, theta läuft von 0 bis pi/2, da Du die obere Halbkugel betrachtest. Bei der Koordinatentransformation nicht die Funktionaldeterminante vergessen!
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Du kannst ja f auch in Zylinder- oder aber, noch besser, in Kugelkoordinaten schreiben. Dabei die Funktionaldeterminante nicht vergessen, egal, ob du nun Zylinder- oder Kugelkoordinaten wählst.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/evtldocha/1661618046590_nmmslarge__0_0_330_330_5b65438fd0a76c82f10658bb02dc7007.png?v=1661618047000)
Hab mit Zylinderkoordinaten gearbeitet
...
wenn die Funktion nur x, y und z hat
... unter der Bedingung "mit Zylinderkoordinaten gearbeitet" hat die Funktion aber kein x und y mehr.
x = r⋅sin(θ)⋅cos(φ)
y= r⋅sin(θ)⋅sin(φ)
z= r⋅cos(θ)
Normalerweise lautet die Transformationsvorschrift so oder?
wie kommst du auf deine