Berechnung Flächeninhalts Rechtecks in Polarkoordinaten?
Hallo zusammen,
ich stehe vor folgender Aufgabe: Berechne den Flächeninhalt eines Rechtecks R(a, b) mit den Seitenlängen a&b in Polarkoordinaten.
Ich kann ohne Probleme den Flächeninhalt anderer Flächen in PK berechnen, jedoch ist hier mein Problem, das ich keine Idee wie ich die rechteckige Fläche mit Integralgrenzen ausdrücken soll🤔
Danke für Ideen :)
1 Antwort
Naja, eine schon eher seltsame Aufgabenstellung nach dem Motto: "Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht ?"
Natürlich ist das Ergebnis, nämlich A = a*b , schon klar, bevor wir zu den Polarkoordinaten übergehen.
Legen wir das Rechteck so in ein (kartesisches) Koordinatensystem, dass seine Eckpunkte in O(0|0), P(a|0), Q(a|b) und R(0|b) liegen. Für das Integrieren in Polarkoordinaten mit dem Ursprung O kann man das Rechteck in die beiden Dreiecke OPQ und OQR aufteilen. Das Integral für das erste dieser Dreiecke wäre dann:
\int \limits_{0}^α \frac{r^2\}{2}\ dφ
wobei r(phi) = a / cos(phi)
und alpha = arctan(b/a)
Das Teilergebnis sollte natürlich a*b/2 sein. Dann ein zweites Teilintegral für das obere Dreieck (natürlich nochmals mit demselben Teilergebnis).
Summa summarum dann A = (a*b)/2 + (a*b)/2 = a*b
(Sorry, habe extreme Mühe mit dem hiesigen "Editor")