Wie forme ich die Normalform in die allgemeine Scheitelpunktform um (Quadratische Funktionen)?
Wie forme ich
f(x) = a·x2 + b·x + c
in
f(x) = a · (x - xs)2 + ys
um?
Am besten auch noch mit Erklärung der einzelnen Zwischenschritte, warum man das macht.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Volens/1444748690_nmmslarge.jpg?v=1444748690000)
Wirklich in dieser allgemeinen Form? Das ist nämlich schwierig!
Oder an einem Beispiel?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/diecooleperson1/1589453731848_nmmslarge__0_0_379_380_0081b0061a727dfcb337fc8346a1b853.jpg?v=1589453732000)
Jap, gerne an einem Beispiel.
6 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/SlowPhil/1649031375350_nmmslarge__455_721_1364_1364_fdb83a409a351f2b82eb7387bbd682d9.jpg?v=1649031376000)
Hallo diecooleperson1,
am besten klammerst Du erst einmal a aus und erhältst
(1) f(x) = a∙(x² + (b/a)∙x + c/a).
Anschließend musst Du (b/a)∙x als 2∙…∙x ausdrücken, um die 1. Binomische Formel anwenden zu können. Dann musst Du eine quadratische Ergänzung einfügen und gleich wieder abziehen:
(2) f(x) = a∙(x² + 2∙(b/2a)∙x + b²/4a² + c/a − b²/4a²)
und jetzt wenden wir sie an:
(3) f(x) = a∙((x − b/2a)² + c/a − b²/4a² )
Anschließend wendest Du das Distributivgesetz an:
(4) f(x) = a∙(x − b/2a)² + c − b²/4a .
Ursprünglich hatte ich oben geschrieben "durch a dividieren", aber das ist ja keine quadratische Gleichung, wo auf einer Seite 0 steht und das Teilen nichts ausmacht.
Damit ist xₛ = b/2a und yₛ = c − b²/4a .
Wie funktioniert der Koeffizientenvergleich?tunik123 hat als Alternative zur Quadratischen Ergänzung den Koeffizientenvergleich vorgeschlagen:
(5.1) ax² + bx + c = a(x − xₛ)² + yₛ
Links steht die Standardform der quadratischen Funktion, rechts die Scheitelpunktform derselben Funktion. Natürlich sind xₛ und yₛ nicht bekannt; sie sollen durch a, b und c ausgedrückt werden.
(5.2) ax² + bx + c = ax² − 2axxₛ + axₛ² + yₛ
Hier hat tunik123 einfach die 2. Binomische Formel angewandt. Du siehst, dass auch beiden Seiten der Summand ax² auftaucht. Den können wir weglassen:
(5.3) bx + c = −2axₛ∙x + axₛ² + yₛ
Koeffizientenvergleich heißt jetzt, dass man die Ausdrücke gleichsetzt, die zur gleichen Potenz von x gehören.
Die Potenz x¹ = 1 hat links den Vorfaktor b und rechts 2axₛ; die müssen also gleich sein:
(6.1) b = −2axₛ ⇔ −b/2a = xₛ
Die Potenz x⁰ = 1 umfasst alle Ausdrücke, die den Faktor x nicht enthalten. Links ist das c, rechts axₛ² + yₛ². Auch sie müssen gleich sein:
(6.2) c = axₛ² + yₛ
Für xₛ setzen wir −b/2a ein und erhalten
(6.3) c = b²/4a + yₛ ⇔ c − b²/4a = yₛ.
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![](https://images.gutefrage.net/media/user/diecooleperson1/1589453731848_nmmslarge__0_0_379_380_0081b0061a727dfcb337fc8346a1b853.jpg?v=1589453732000)
Könntest du das Ganze noch weiter denken und weitere Formeln daran erklären?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/SlowPhil/1649031375350_nmmslarge__455_721_1364_1364_fdb83a409a351f2b82eb7387bbd682d9.jpg?v=1649031376000)
Ich weiß nicht genau, was Du meinst. Geht es um Formeln, die da bereits stehen?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/diecooleperson1/1589453731848_nmmslarge__0_0_379_380_0081b0061a727dfcb337fc8346a1b853.jpg?v=1589453732000)
Nein, hat erledigt. Danke trotzdem :)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Eine Alternative zur Quadratischen Ergänzung ist Koeffizientenvergleich. Es kommt aber dasselbe dabei raus.
Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich
Und daraus
![](https://images.gutefrage.net/media/user/SlowPhil/1649031375350_nmmslarge__455_721_1364_1364_fdb83a409a351f2b82eb7387bbd682d9.jpg?v=1649031376000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Volens/1444748690_nmmslarge.jpg?v=1444748690000)
f(x) = y | denn du zeichnest es als y
y = ax² + bx + c | das ist die Funktion
Beispiel:
y = 5x² - 20x + 21
Für die Scheitelpunktform braucht man eine
Darstellung, die einer binomischen Formel
(siehe unten den Link)
entspricht. Deshalb baut man die Funktion um.
y = 5(x² - 4x ) + 21
Man betrachtet 4x als das Mittelglied einer
binomischen Form (2ab). Dann halbiert man die 4,
das ergibt 2, und das wird quadriert: 4
Wenn man diese 4 addiert, muss man sie sofort
wieder subtrahieren, damit die Gleichung erhalten
bleibt, sog. Quadratische Ergänzung.
Außerhalb der Klammer wird noch mit der 5
multipliziert, damit es wirklich stimmt.
y = 5(x² - 4x + 4 ) - 20 + 21
In der Klammer ist nun ein binomischer Term:
x² - 4x + 4 = (x - 2)² sowie
-20 + 21 = +1
Das Ganze ergibt zusammen:
y = 5(x - 2)² + 1
Das ist die Scheitelpunktgleichung
Daraus kann man jetzt die Koordinaten des
Scheitelpunkts S bestimmen.
Dabei wird bei x das Vorzeichen umgedreht,
bei der Zahl hinter der Klammer bleibt es gleich.
xs = +2
ys = +1
Daher S(2|1)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/SlowPhil/1649031375350_nmmslarge__455_721_1364_1364_fdb83a409a351f2b82eb7387bbd682d9.jpg?v=1649031376000)
Man kann es aber auch allgemein machen, so ähnlich, wie man die Mitternachtsformel herleitet.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Volens/1444748690_nmmslarge.jpg?v=1444748690000)
Link für das Binom:
https://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm
![](https://images.gutefrage.net/media/user/f0felix/1600995057746_nmmslarge__0_0_480_480_4590362b51b0e05c6e6cac535f00bfc0.jpg?v=1600995058000)
Mit quadratischer Ergänzung,
f(x)=ax^2 +bx+c
Jetzt so ergänzen, das man auf die erste oder zweite bioniomische Formel kommt, dazu erstmal ausklammern um den Faktor, falls vorhanden, vor x^2 wegzubekommen,
=a(x^2 +b/a *x+c/a)
Jetzt schauen was vor dem x steht und dann den Teil c/a ergänzen (bioniomische Formel, a^2+2ba+b^2)
a(x^2 +2*b/(2a) *x+c/a+(b/(2a)^2 -(b/(2a))^2)=
=a((x+b/(2a))^2 +c/a -(b/(2a))^2)
Jetzt kann man das a wieder hineinmultiplizieren...
![](https://images.gutefrage.net/media/user/PhotonX/1444747801_nmmslarge.jpg?v=1444747801000)
Hier ist es, wie ich finde, recht gut und ausführlich an einem Beispiel erklärt: https://de.serlo.org/mathe/1631/quadratische-erg%C3%A4nzung
wuhuuuuu - super antwor