Warum kann man nicht jede quadratische Funktion in faktorisierter Form darstellen, aber jede in Scheitelpunktform?

  Eine ÄUSSERST kluge Frage. Wer so fragt wie du, bringt bereits die Prädisposition zum Matematikstudium mit.  Lehrer mögeh es i.A. gar nicht gerne, wenn Schüler derartige Punkte als ernstes Problem erkennen.

  Das MIT ABSTAND beliebteste Verfahren, den Scheitel einer Parabel zu ermitteln, ist die ===> Differenzialrechnung aus der höheren Matematik. Und zwar wenn eine Funktion y = f ( x ) differenzierbar ist auf dem ===> Intervall [ a ; b ] und x0 ist ein ===> innerer Punkt dieses Intervalls. Wenn x0 ein Extremum von f ist, so folgt, dass die ===> erste Ableitung f ' ( x0 ) verschwindet.

   Ist die Existenz der Nullstelle von f ' gesichert? Ja; durch den ===> Zwischenwertsatz ( ZWS ) der reellenA nalysis ( Der Support teilte mir mit, wir dürfen das WortA nalysis gar nicht benutzen; dies habe nichts zu tun mitA nal, sondern damit, dassA nalysis den Tatbestand des Landesverrats erfülle. )

   D.h. wenn du dir mal die Aussage des ZWS zu Gemüte führst; du brauchst schon den vollen Aparillo der reellen Zahlen; rationale Zahlen wären für die Zwecke der ===> Kurvendiskussion eindeutig zu wenig. Denk daran, dass die Funktion

      f  (  x  )  :=  x  ²  -  2     (  1  )

   gar keine rationalen Wurzeln hat; auf den rationalen Zahlen gilt der ZWS überhaupt nicht.

   So; und bereits eine elementare Betrachtung lehrt, dass die erste Ableitung eines quadratischen Polynoms LINEAR ist. Demnach suche ich die NULLSTELLE EINER LINEAREN GLEICHUNG; und die ist teivial rational. Das ist die Antwort auf deine Frage.

    Nutzanwendung; du besorgst dir Band 1 Courant / Hilbert und lernst Differenzialrechnung ( als Streber. ) Wer keine Differenzialrechnung beherrscht, der sieht die Mathematik ( vergleichbar ) an mit den Augen eines Kindes, welches noch an Sandmännchen und den Klapperstorch glaubt ...

   Und jetzt zu deiner Frage nach den Wurzeln einer quadratischen Gleichung; kannst du schon ===> Polynomdivision ( PD ) ? Dann besorg dir doch mal ein gescheites Algebrabuch; etwa ===> v.d. Waerden oder ===> Artin. Auch das Skript von Otto Haupt ist ganz fantastico.

  Was du lernen sollst: Was ist eine ===> Körper-Erweiterung; und was versteht man unter einem ===> Minimalpolynom?

  So ein ===> Zahlenkörper sind z.B. die rationalen Zahlen |Q . " Zahlenkörper " heißt hier nur: Die 4 Grundrechnungsarten sollen unbeschränkt ausführbar sein.

  Gehen wir ganz typisch aus von den rationalen Zahlen |Q .  Aus dem ===> Satz von Vieta folgt nun eine ganz elementare Alternative, die du dir bitte klar machen sollst: Entweder ein quadratisches Polynom ist prim, das Minimalpolynom seiner Wurzeln. Oder es zerfällt bereits über |Q 

( Ach übrigens; ich schmeichle mir, über letzteren Fall selber geforscht zu haben. Bei mir verläuft die Front; hier biste richtig. )

   Was ist die Mitternachtsformel? Akademisch gesprochen, tust du zu jeder quadratischen Gleichung ihren ===> zerfällungskörper konstruieren.

   Besonders intressant; in der Literatur doch bissele stiefmütterlich behandelt: der ===> algebraische Abschluss ( AA ) eines Körpers.

   Macht das Internet dumm? Dann schau dir mal an, was Wiki über den AA für feine Sächelchen zu vermelden weiß ...

   Der mit Abstand wohl berühmteste AA ; den AA der reellen Zahlen bilden die ===> komplexen Zahlen ===> Fundamentalsatz der Algebra 

  Fragen, Bemerkungen, Anregungen?

Wenn es ums Darstellen geht:
man kann.

x² + 2x + 2 = (x + (1 - √(-1))) * (x + (1 + √(-1)))

Ob man es im reellen Zahlenbereich auch ausrechnen kann, ist ja nicht gefragt.

Weil es quadratische Funktionen gibt, die keine Nullstellen in den reellen Zahlen besitzen, sondern stattdessen Nullstellen in den den komplexen Zahlen, sie haben dann sehr wohl Linearfaktoren, allerdings komplexe Linearfaktoren, für die man sich in der normalen Schule für gewöhnlich nicht interessiert.

Die erste Ableitung einer quadratischen Funktion ist eine lineare Funktion und jede "reinrassige" lineare Funktion der Form y = m * x + b besitzt eine Stelle an der sie die x-Achse schneidet.

Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion ist zugleich auch ihr Extremwert und ein Extremwert liegt dort wo die erste Ableitung Null wird, also dort wo die lineare Funktion, die die 1-te Ableitung der quadratischen Funktion ja ist, die x-Achse schneidet.

Weil jede quadratische Funktion nen Scheitelpunkt hat?!