Wie findet man bei trigonometrischen Gleichungen weitere Lösungen?

Wenn man die Gleichung sin(x)=0,5 und cos(x)=0,5 vorliegen hat, dann lässt sich ja die erste Lösung mithilfe des Taschenrechners herausfinden.

Ich kann’s mich allerdings daran erinnern, dass in einem Erklärvideo die zweite Lösung x2 wie folgt berechnet wird: halbe Periodenlänge - x1.
Kann man das tatsächlich immer so anwenden?

Ich komme nämlich häufig nur auf die erste Lösung..

LG

Answer 1

[poseidon42]

Es gelten die Identitäten:

(i) sin(x) = sin(pi - x)

(ii) cos(x) = cos(2pi - x)

wobei letztere auch als cos(--x) = cos(x) geschrieben werden kann, wenn als Definitionsbereich nur [0, 2pi) betrachtet wird. Wieso diese gelten sieht man am einfachstem über die Definitionen am Einheitskreis:

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Precalculus/Precalculus_1e_(OpenStax)/05%3A_Trigonometric_Functions/5.02%3A_Unit_Circle_-_Sine_and_Cosine_Functions

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Definition_am_Einheitskreis

Oder Alternativ auch direkt am Funktionsgraphen:

https://de.serlo.org/mathe/1909/sinusfunktion-und-kosinusfunktion

Beachte dabei das (i) aus (ii) und umgekeht folgt über den Zusammenhang

(iii) sin(x + pi/2) = cos(x) bzw. sin(x) = cos(x - pi/2)

zwischen sin und cos und der 2pi-Periodizität. So folgt z.B. aus (i):

sin(x) = sin(pi - x)

--> cos(x - pi/2) = cos(pi - x - pi/2)

--> cos(y) = cos(pi - y - pi/2 - pi/2) = cos(-y) mit x = y + pi/2

--> cos(y) = cos(2pi - y)

was (ii) entspricht.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Elektrotechnik (Energie, Automatisierung)