Von sin (x) = -0,5 zu x1 und x2 kommen?
Hallo,
ich bin momentan in der EF und übe für die kommende Mathe-Klausur, doch kann mir nicht erschließen wie die Lösungen von sin(x) = -0,5 auf x1 und x2 ( also so wie bei der pq Formel beispielsweise) kommen.... Kann mir das jemand erklären ? Dazu ist x1 und x2 übrigens x1 = 7pi / 6 und x2 = 11pi / 6
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/poseidon42/1460229407172_nmmslarge__0_0_383_383_3768e5723c9484f0368755f73e303a0e.jpg?v=1460229409000)
Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sind Elemente der T-Periodischen Funktionen. Dies bedeutet, dass gilt:
f(x) = f(x + T) mit f T-periodisch.
Der Sinus und der Kosinus besitzten an sich die Periode T = 2pi. Diesen Umstand kann man sich am Einheitskreis verdeutlichen. Es gilt also:
sin(x) = sin(x + 2pi)
Daraus folgern wir dann sofort, dass gelten muss:
sin(x) = sin(x + k*2pi) mit k aus { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} = Z (ganze Zahlen)
Wir wollen uns nun mit der Lösung folgender Gleichung beschäftigen:
sin(x) = y mit y aus [-1, 1] c IR
Um die Lösbarkeit dieses Problems zu verstehen beschäftigen wir uns zunächst mit der Umkehrbarkeit von Funktionen. Betrachte dazu zunächst folgendes Beispiel:
f(x) = x²
Angenommen wir haben die Gleichung: x² = 1 gegeben und wollen diese nun nach x auflösen, so haben wir hier ein Problem. Man macht sich schnell klar, dass gilt:
(-1)² = 1² = 1
wir erhalten also -1 und 1 als Lösungen für x. Dies bedeutet, dass wir keine Funktion g(x) finden können die folgende Eigenschaft besitzt:
g(f(x)) = x
da hier unser f keine eindeutige Lösung besitzt !!! Betrachtet man jedoch f(x) = x² bspw. nur für positive Werte von x, so ist es möglich die Umkehrfunktion g zu f zu finden. Diese Funktion ist bekannt als "Quadratwurzel". Sie liefert die Lösung zu der Gleichung:
x² = y für x aus [0, +inf)
Schließlich können wir aus Symmetriegründen die zweite Lösung durch die erste Ausdrücken:
x² = y ---> (x²)^(1/2) = y^(1/2)
--> |x| = y^(1/2) --> x = y^(1/2) oder x = - y^(1/2)
(Wobei | . | den Absolutbetrag bezeichnet)
Wann ist nun eine Funktion umkehrbar? Stellt sich heraus, dass Monotonie die Antwort liefert. Ist eine Funktion f Monoton, so folgt:
Jedem X aus dem Definitionsbereich wird GENAU EIN y = f(x) aus dem Wertebereich zugeordet. Es folgt mit strenger Monotonie also Eindeutigkeit.
Es gilt bspw für f(x) = x²:
a² < b² für b > a und b,a aus (0, +inf) c IR
Die Funktion f ist also streng monoton steigend auf (0, +inf) und damit Umkehrbar (gegeben durch die Quadratwurzel).
Betrachtet man nun den Graphen der Sinus-Funktion, f(x) = sin(x):
https://www.google.de/search?q=sin(x)&ie=utf-8&oe=utf-8&gws_rd=cr&ei=1xm_WNrjMYO0a73nhJgK
So lässt sich am Graphen ablesen:
Die Funktion des Sinus ist streng monoton auf (-pi/2 , pi/2 ) und auf (pi/2, 3pi/2). Es lässt sich also eine Umkehrfunktion auf diesen angegeben Intervallen finden. Gegeben ist diese durch:
g(x) = arcsin(x) g: [-1, 1] --> [-pi/2, pi/2]
Diese Funktion liefert uns jedoch nur eine Lösung auf [-pi/2, pi/2]. Analog jedoch zu dem Falle der Quadratwurzel können wir die Symmetrie des Problems ausnutzen. Man erkennt recht leicht, dass gilt:
sin(x) = sin(pi - x)
Somit können wir die Lösung der Gleichung:
f(x) = sin(x) = y
angeben als:
x = arcsin(y) oder x = pi - arcsin(y)
Dies wären die beiden Lösungen auf dem Intervall [0, 2pi]. Insgesamt existieren unendlich viele Lösungen zu der angegeben Gleichung aufgrund der Periodizität der Funktion. Somit lassen sich ALLE Lösungen auf ganz IR in der Form:
x = arcsin(y) + k*2pi oder x = pi - arcsin(y) + k*2pi
mit k aus { ..., -1, 0, 1, ...} = Z (ganze Zahlen)
angeben.
Siehe bspw die Lösung zu: sin(x) = 0.8
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(x)+%3D+0.8
(Unter "Solutions" , wobei sin^-1(...) = arcsin(...) )
Die Lösung der Gleichung:
cos(x) = y verläuft übrigens analog. Hier ist der Kosinus jedoch auf (0, pi) und (-pi, 0) monoton. Die Umkehrfunktion ist gegeben durch:
g(x) = arccos(x) g: [-1, 1] ---> [0, pi]
Die ausnutzbare Symmetrie auf [0, 2pi] ist gegeben durch:
cos(x) = cos(2pi - x)
Die Lösungen von cos(x) = y folgen also zu:
x = arccos(y) oder x = 2pi - arccos(y)
Erweitert auf IR ergeben sich die Lösungen dann in der Form:
x = arccos(y) + 2pi*k oder x = 2pi - arccos(y) + 2pi*k
mit k aus { ... , -1, 0, 1, ... } = Z .
Sie bspw die Lösung zu: cos(x) = 0.8
http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos(x)+%3D+0.8
(Unter "Solutions" , wobei cos^-1(...) = arccos(...) )
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Um von sin(x) auf x zu kommen, wendest Du den arcsin an (sin^-1). Ist Dein Taschenrechner auf DRG (od. DEG je nach Rechner) eingestellt, kommt -30° raus. Das bedeutet, im Einheitskreis betrachtet, dass der Winkel nach unten abgetragen wird. Es sind also 360°-30°=330°. Da der sin die senkrechte Kathete darstellt, ist der entsprechende Winkel des "2. passenden Sinus" im 3. Quadranten bei 180°+30°=210°.
Nun entsprechen 360° im Einheitskreis 2pi. Dann sind 330°:
360°=2pi
330°=x
x=330 * 2pi / 360 = 330 * pi/180 = 11/6 pi
Das gleiche für 210°. Von diesen beiden x-Werten sind weitere Lösungen alle 2pi (alle 360°).
![](https://images.gutefrage.net/media/user/rumar/1477913002241_nmmslarge__0_22_299_299_88d8bb49dc32bb33a75eda94d0272938.jpg?v=1477913002000)
Das hat nichts mit der "p-q-Formel" bei quadratischen Gleichungen zu tun.
Du kannst diese Aufgabe aber durch Anschauen des Einheitskreises (Kreis um den Nullpunkt (0|0) mit Radius 1) lösen. Welche der Punkte auf der Kreislinie haben die y-Koordinate (Sinuswert) -0.5 ? Man sieht sofort, dass es genau 2 solche Punkte gibt, nämlich einen ersten beim Zentriwinkel -30° oder -π/6 (bzw. 2π - π/6 = 11π/6 ) und einen zweiten bei 180°+30° = 210° = 7π/6 .
Die Sinus- und Cosinuswerte für 0°, 30°, 45°, 60°,90° sollte man auswendig wissen und auch verstehen, wie es sich bei den entsprechenden Winkeln in den übrigen Quadranten verhält, insbesondere auch, was die Vorzeichen betrifft.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Am besten kann man Trigonometrie anhand des Einheitskreises verstehen (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis). Auch das was Du genau suchst findest Du in diesem Wiki-Artikel.