Welche Regeln beim Rechnen mit Trigonometrischen Formeln?

Wir wiederholen in der Uni aktuell Schulmathe, und habe keine Ahnung wie man beim ersten Teil drauf kommt. Könntet ihr kurz die zugrundeliegenden Regeln erklären?

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Aufgabe 3.3: Eine der beiden Identita ̈ten ist falsch, welche?

sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x

sin(x + y) sin(y − x) = cos2 x − cos y

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Lo ̈sung zu 3.3: Es gilt mit den angegebenen Additionsformeln,

sin3x = sin(x+2x) = sinx cos2x + cosx sin2x

= sinx cos(x+x) + cosx sin(x+x)

= sinx(cos2 x−sin2x) + cosx(sinx cosx+cosx sinx)

= sinx cos2 x−sin3 x+2sinx cos2 x

= 3sinx(1−sin2 x)−sin3 x

Dies besta ̈tigt die erste Identita ̈t.

Die zweite Gleichung ist falsch, denn setzen wir zum Beispiel x = 0 und y = π ein, so erhalten wir sin(x + y) sin(y − x) = 0 ̸= 2 = cos2(0) − cos(π).

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Ich habe etwas die Formatierung gerettet, hoffe ich. Die Aufgabe ist auch hier zu finden als Aufgabe 3.3 https://www.math.kit.edu/ianmip/~hettlich/seite/vorkurs_heft#Kapitel%202:%20Alles%20ziemlich%20rational

Answer 1

[BorisG2011]

Beide Aufgaben lassen sich mit den Additionstheoremen für den Sinus bearbeiten. Diese Formeln lauten:

$\sin\left(x\ +\ y\right)\ =\ \sin\left(x\right)\cdot\cos\left(y\right)\ +\ \cos\left(x\right)\cdot\sin\left(y\right)$ $\sin\left(x\ -y\right)\ =\ \sin\left(x\right)\cdot\cos\left(y\right)\ -\ \cos\left(x\right)\cdot\sin\left(y\right)$

Diese Formeln stehen auch in jeder ordentlichen Formelsammlung - oft allerdings mit einem doppelten Rechenzeichen als eine Formel geschrieben.

In der ersten Aufgabe wird das Additionstheorem zweimal angewendet, um die Formel für den dreifachen Winkel herzuleiten. Das ist natürlich eine beliebte Übungsaufgabe.

Die zweite Aufgabe könnte man in der Weise bearbeiten, dass man zunächst die rechten Seiten der obigen Formeln miteinander multipliziert und vereinfacht. Um zu einem Ergebnis zu gelangen, muss man dann allerdings noch das Additionstheorem für den Cosinus heranziehen

$\cos\left(x\ +\ y\right)\ =\ \cos\left(x\right)\cdot\cos\left(y\right)\ +\ \sin\left(x\right)\cdot\sin\left(y\right)$ und daraus die Formel für den Cosinus des doppelten Winkel Also die Formel für cos(2*x) herstellen. Es ist allerdings clever - weil einfacher - die Fehlerhaftigkeit der in der zweiten Aufgabe genannten Identität durch Einsetzen geeigneter Zahlen zu zeigen.

Für trigonometrische Funktionen gibt es unglaublich viele Abhängigkeiten. Die bekanntesten - und wichtigen - Formeln sind die Additionstheoreme und die bekannte Formel

$\sin^{^2}\left(x\right)\ +\ \cos^{^2}\left(x\right)\ =1$ die ja nichts anderes ist als der Satz des Pythagoras in trigonometrischer Darstellung.

Ein BLick in eine Formelsammlung zeigt, was es sonst noch alles gibt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik

Comments

[ttttttttobi]

danke, ich kannte die Additionstheoreme nicht und kann es jetzt nachvollziehen. Bis auf eines: wie kommt man darauf?

sin(x)cos²(x) - sin³(x) + 2sin(x)cos²(x) = 3sin(x)[1-sin²(x)] - sin³(x)

Ich komme bestenfalls auf

3sin(x)cos²(x) – sin³(x)

wie schreibt man so lesbare Formeln?

[BorisG2011]

@ttttttttobi

Hier wird ausgenutzt, dass cos^2(x) = 1 -sin^2(x).

Das ergibt sich durch Umstellung aus sin^2(x) + cos^2(x) = 1, was ja gewrade der Satz des Pythagoras in trigonometricher Form ist.

Answer 2

[gauss58]

Für die Lösung der ersten Aufgabe benötigt man Grundlagen im Umformen von Termen bzw. Gleichungen (hier: ausklammern), sowie die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus und den trigonometrischen Pythagoras.