Wie bilde ich die Stammfunktion von f(x)= arcsin(x)?
Hab zuerst Partiell integriert: arcsin(x)x - "integral"(x / Wurzel(1-x²))
Dann habe ich substituiert und bekam dann raus : - 1/2 * "integal" 1/ Wurzel(u) du
Als letzes habe ich aufgeleitet : -1/2 * [ x / Wurzel(u) ], dann halt rück-substituiert...laut meinem Lösungsheft ist mein Ergebnis falsch, kann mir einer die Aufgabe vorrechnen ? Danke
3 Antworten
Hallo,
wenn Du substituierst, hat dort ein x nichts mehr verloren.
Partielle Integration ist auf jeden Fall der richtige Ansatz mit f'=1 und g=arcsin (x).
Der erste Teil ist dann x*arcsin(x)-∫x*1/√(1-x²)*dx
Zu lösen ist das Restintegral. Auch hier hast Du korrekterweise eine Substitution vorgenommen:
u=1-x²
du/dx=-2x, dx=du/(-2x)
Das x im Zähler des Integrals kürzt sich gegen das x im Nenner und Du bekommst nach der Substitution ∫-1/(2√u*du)
Da vor dem Integral ein Minuszeichen steht und Du -1/2 als konstanten Faktor vor das Integral holen kannst, bekommst Du (1/2)*∫1/√u*du
Die Stammfunktion von 1/√u=u^(-1/2) ist nach der Potenzregel 2*u^(1/2)
oder 2*√u
Die 2 hebt sich gegen das 1/2 vor dem Integral auf, so daß Du √u als gelöstes Restintegral bekommst und nun rücksubstituieren kannst.
Die Stammfunktion lautet demnach x*arcsin (x)+√(1-x²)+C, die auch in Deinem Lösungsbuch stehen sollte.
Herzliche Grüße,
Willy
Substitution (ersetzen) u=arcsin(x) und dx=dv
Integral(u*dv)
abgeleitet (f(x)=arcsin(x)) du/dx=1/Wurzel(1-x²) mit Betrag(x)<1
du=dx/Wurzel(...)
dv=dx v=integral(dx)=x
Integral(arcsin(x)*dx)
Integral(x*dx/Wurzel(1-x²)
Substitution z=1-x²
ergibt
Integral(x*dx/Wurzel(1-x²)=-1*Wurzel(1-x²)+C
integral(arcsin(x)*dx)=arcsin(x)*x- Integral(x*dx/Wurzel(1-x²))
F(x)=arcsin(x)+Wurzel(1-x²)+C
Habe ich aus meinen Unterlagen abgeschrieben.
allgemeine Lösung aus dem Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.
Integral(arcsin(x/c)*dx)=x*arcsin(x/c)+Wurzel(c²-x²)
