Wie bestimmt man die Nullstellen in der Aufgabe?
Ich verstehe nicht wie man in der 4. Aufgabe die Nullstellen bestimmt, kann mir das bitte jemand mit Zwischenschritten erklären?
4 Antworten
Guten Abend zu später Stund mal wieder ;)
Das ist noch einfacher als du denkst. Du sollst ja auch nur bestimmen. Der Operator bestimmen sagt, dass du das nicht berechnen musst. Wenn das schon dort steht, darfst du auch den Taschenrechner nutzen oder sonst welche Methoden anwenden.
Bei der 4. Aufgabe haben wir folgende Funktion:
f(x) = (x+3) (x-2) (x-8)
Die Funktion steht in der sogenannten Linearfaktordarstellung, bei den quadratischen Funktionen hat man das meistens noch Nullstellenform genannt. Der Begriff deutet es schon an: Du kannst die Nullstellen einfach ablesen. Wichtig dabei ist: Es findet ein Vorzeichenwechsel statt.
Wenn in der Klammer z.B. in der ersten "x+3" steht, ist die Nullstelle bei x1=-3. Wieso? Auch hier ziemlich einfach. Du versuchst, jede einzelne Klammer auf null zu bekommen. Denn auch hier gilt der Satz vom Nullprodukt:
Das Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.
Das heißt einfacher gesagt: Wenn eine Klammer den Wert null hat, werden alle anderen Klammern auch den Wert null annehmen, weil wir eine Multiplikation haben.
Um auf die 1. Klammer zurück zu kommen:
Wir würden dabei nun versuchen x+3 den Wert null annehmen zu lassen. Dafür setzten wir einfach wieder null:
x + 3 = 0 |-3
x = -3
Damit hätten wir eben die Nullstelle und daher kommt der Vorzeichenwechsel.
Jetzt kannst du wie gesagt die Nullstellen einfach alle ablesen:
f(x) = (x+3) (x-2) (x-8)
x1 = -3
x2 = 2
x3 = 8
Schon fertig! :)
Im Bild kannst du das auch nochmal überprüfen - wie letztes Mal schon ;)
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Haha, sehr schön zu hören! :))
Ja, die Mathe Lehrer sind bei uns auch nicht immer die besten - eher im Gegenteil, wie so oft. Kann man leider nichts gegen machen als mit dem Internet aufholen ;)
Bei Aufgabe 7 solltest du wenigstens im Kopf den ersten Schritt machen und ausklammern (faktorisieren).
Wir klammern immer den höchsten Exponenten aus, das wäre hier das x⁶.
f(x) = x⁸ - 4x⁶
x⁸ - 4x⁶ = 0
x⁶ (x²- 4) = 0
Hier kannst du jetzt schon aufhören, falls du es schriftlich gemacht haben solltest. Zum einen gilt wieder der Satz vom Nullprodukt. Wir haben hier also eine Nullstelle bzw. sogesehen 6 Nullstellen im Ursprung, also bei x1/2/3/4/5/6 = 0.
Nun bleibt noch die Gleichung
x² - 4 = 0
Die 4 rüber und dann die ± Wurzel ziehen. Kommen also noch x7=2 und x8=-2.
Bei Aufgabe 8 würde ich dann abgesehen vom GTR ganz normal rechnen. An der Stelle würde die Substitution zum Einsatz kommen. Dann würde gelten:
x² = z
Damit wäre die neue Gleichung, die du lösen musst dann:
z² - 23z - 50 = 0
Diese Gleichung kannst du mit der pq-/abc-/Mitternachtsformel lösen (ist vom Bundesland abhängig). Wenn du das getan hast, musst du am Ende aus allen Lösungen nochmal die ± Wurzel ziehen, weil wir ja am Anfang gesagt haben, dass z=x² wäre. Nachdem du die ± Wurzeln gezogen hast, hast du auch die "letztendlichen" Lösungen.
Du setzt jede einzelne Klammer gleich 0, denn wenn ein Teil des Produktes =0 ist, dann ist das ganze Produkt auch gleich 0!!
Also:
(X+3)=0 -> X= -3
(X-2)=0 -> X= 2
(X-8)=0 -> X= 8
Hoffe ich konnte dir helfen :))
zu 8. 0=x^4-23*x^2+50 ist eine biquadratische Funktion
Substitution z=x^2 ergibt o=z^2-23*z+50
ist eine Parabel der Form 0=z^2-23*z+50 nullstellen mit der p-q-Formel
z1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)^2-q) siehe Mathe-Formelbuch "quadratische Gleichung"/"Lösbarkeitsregeln".
Nullstellen mit der p-q-Formel
z1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)^2-q)
p=-23 und q=50 z1=20,569... und z2=2,43...
z=x^2 ergibt x=Wurzel(z)
Nullstellen bei x1=-4,53.. x2=-1,559.. x3=1,559.. x4=4,53...
zu 7. 0=x^8-4*x^2 z=x^2 ergibt
0=z^4-4*z=z*(z^3-4) Nullstelle bei z=0
Satz vom Nullprodukt c=a*b c=0 wenn a=0 oder b== oder a=b=0
also Nullstelle bei z=0 weitere Nullstelle wenn der Klammerausdruck zu Null wird
0=z^3-4 ergibt z=3.te Wurzel(4)=1,57..
Den Rest schaffst du selber.
Da brauchst gar nicht rechen,weil da die Nullstellen schon stehen
Bildungsgesetz der kubischen Funktion
f(x)=(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*a hier ist a=1 (Normalform wegen a=1)
x1,x2 und x3 sind die "reellen Nullstellen" Schnittpunkte mit der x-Achse
Also Nullstellen bei x1=-3 und x2=1 und x3=8
Guten Abend!:) Ach, wieder super erklärt, Danke sehr, es ist leichter als ich dachte!
Wenn es nicht schwer wäre, könntest du mir vielleicht auch 7. und 8. Aufgabe erklären? Oder einfach sagen, wie es am Anfang geht, dann kann ich auch versuchen selber zu rechnen:) Ich verstehe es, wenn du schreibst sehr schnell! (Sogar besser als bei meinem Mathelehrer)