Wie berechnet man die Nullstellen?

Ich habe Hausaufgaben zum Thema Nullstellen bekommen, jedoch verstehe ich es nicht bzw. weiß nicht genau wann ich welche Formel anwenden muss. Meinen Lehrer habe ich schon oft gefragt wie man das nun rechnet aber es ist hoffnungslos bei ihm, er kann es einfach nicht erklären.

Versteht jemand vielleicht das Thema und kann mir da etwas helfen bzw. Tipps geben?

Würde mich echt über etwas Hilfe freuen, da ich demnächst auch einen Test zu dem Thema schreibe und es selber können muss.

Answer 1

[Rhenane]

Hast Du die Form f(x)=1x²+px+q, dann kannst Du sofort die pq-Formel anwenden, wie bei Aufgabe a).

Fehlt das p, also das einfache x, dann bringst Du einfach das q auf die rechte Seite und ziehst die Wurzel. Darauf achten, dass das Ergebnis dann natürlich +-Wurzel(q) ist. (Aufgaben b) und h))

Fehlt das q, dann klammerst Du x aus und nutzt den Satz vom Nullprodukt: d. h. ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist, also hier dann entweder das ausgeklammerte x oder die Klammer (Aufgaben c) und g)).

Steht ein anderer Vorfaktor vor dem x², dann teilst Du zuerst durch diesen Faktor und gehst dann wie zuvor beschrieben vor.

Answer 2

[jjsch5]

Wenn nur x und x² mit Koeffizienten dastehen: x ausklammern, Nullprodukt

x² mit Koeffizient und eine Zahl: normale Äquivalenzumformung

Allgemein pq-Formel anwenden:

3x² - 2x - 1 = 2 | -2

3x² - 2x - 3 = 0 | :3

x² - ⅔x - 1 = 0 = x² + px + q

p = - ⅔; q = -1

Jetzt pq-Formel anwenden

Answer 3

[evtldocha]

jedoch verstehe ich es nicht bzw. weiß nicht genau wann ich welche Formel anwenden muss

Das ist das Problem. Du hast eine Aufgabe, suchst eine passende "Formel", hast Dir aber nie Lösungswege angesehen, warum das gerade die praktikabelsten sind. Du solltest mal ein und dieselbe Aufgabe auf unterschiedliche Wege machen, damit Du mehr Gespür dafür bekommst, was schneller geht: Beispiel Aufgabe c)

$f\left(x\right)=x^2-4x$

Methode 1) "Ausklammern und Satz vom Nullprodukt:"

$x^2-4x=0$ $x\cdot(x−4)=0\ ⇔\ x_1​=0\ ∨\ x_2​=4$

Methode 2) pq-Formel

$x^2-4x=0$ $p=-4;\ q=0$ $x_{1/2}=-\ \frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-0}=2\pm\sqrt{4}=2\pm2\ \to x_1=0;\ x_2=4$

(sieht schon ein wenig nach "mit Kanonen auf Spatzen schießen" aus)

Methode 3) Quadratische Ergänzung

$x^2-4x=0$ $x^2-4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2=0$ $\left(x-2\right)^2-4\ \ =0\ \ \ \ \ \ \ |+4$ $\left(x-2\right)^2=4\ \ \ \ \ \ \ \ |\sqrt{ }$ $x-2=\pm\sqrt{4}=\pm2$ $\to x=2\pm2\ \to x_1=2-2=0;\ x_2=2+2=4$

Methode 4) abc-Formel

Das wären hier gleich mehrere Kanonengeschwader, die auf Spatzen schießen, kann man auch machen. Ich lasse es hier mal sein.

Methode 5) Anwendung des Satzes von Vieta

Na ja, das ist natürlich ziemlich komisch hier, weil es am Ende auch eher nach einer Wiederholung von Methode 1 aussieht, aber der Vollständigkeit halber:

$4+0\ =\ 4;\ 4\cdot0\ =\ 0$ $x_1=0;\ x_2=4$ $f\left(x\right)=\left(x-0\right)\cdot\left(x-4\right)=x\cdot\left(x-4\right)$

Was lernt man daraus:

• Alles führt hier zum Ergebnis (weil es kein konstantes Glied gibt, funktioniert auch Methode 1)
• Die Aufwände zur Lösung zu kommen sind für die Methoden unterschiedlich hoch
• Wenn eine Methode funktioniert, dann sind die Lösungen natürlich gleich

Jetzt entscheidest Du, was Dir leichter fällt. Ich für mich weiß, dass ich mich für Methode 1 hier entscheide und sehe das sofort daran, dass keine Konstante am Ende steht.