Wie berechne ich Logarithmen mit unterschiedlichen Basen?

Hallo Leute,

wie löse ich folgende Aufgabe?

log₃(√27)+log₅(√27)

Die unterschiedlichen Basen bereiten mir Probleme...

Bin gespannt auf Eure Antworten :)

Answer 1

[mihisu]

Da wird keine „schöne“, „einfache“ Zahl rauskommen.

Wenn du einen gerundeten Näherungswert haben möchtest... Gib das einfach in einen Taschenrechner ein...

Falls du keinen Taschenrechner hast, der mit einer von dir bestimmten Basis beim Logarithmus rechnen kann, kann dir die folgende Rechenregel helfen...

$\log_b\left(x\right)=\frac{\log_c\left(x\right)}{\log_c\left(b\right)}$

Insbesondere kann man für c die Zahl 10 verwenden und mit dem Zehnerlogarithmus lg(...) rechnen, oder für c die eulersche Zahl e verwenden und mit dem natürlichen Logarithmus ln(...) rechnen.

$\log_b\left(x\right)=\frac{\lg\left(x\right)}{\lg\left(b\right)}\ \text{bzw.}\ \log_b\left(x\right)=\frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(b\right)}$

Dementsprechend im konkreten Fall...

$\log_3\left(\sqrt{27}\right)+\log_5\left(\sqrt{27}\right)=\frac{\ln\left(\sqrt{27}\right)}{\ln\left(3\right)}+\frac{\ln\left(\sqrt{27}\right)}{\ln\left(5\right)}$

============

Wenn du den Term hingegen als exakte Zahl stehen lassen möchtest, und den Term nur etwas vereinfachen möchtest, so können dir diese Rechenregeln weiterhelfen...

• $\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}$
• $\log_b\left(b^k\right)=k$
• $\log_b\left(c^k\right)=k\cdot\log_b\left(c\right)$

Im konkreten Fall...

$\log_3\left(\sqrt{27}\right)+\log_5\left(\sqrt{27}\right)$ $=\log_3\left(\sqrt{3^3}\right)+\log_5\left(\sqrt{3^3}\right)$ $=\log_3\left(3^{\frac{3}{2}}\right)+\log_5\left(3^{\frac{3}{2}}\right)$ $=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cdot\log_5\left(3\right)$

Answer 2

[MichaelH77]

den ersten Ausdruck kann man umformen:

$\log_3\sqrt{27}=\log_3\sqrt{3^3}=\log_33^{\frac{3}{2}}\ =\frac{3}{2}$ bei der Basis 5 und der Zahl 27 funktioniert das nicht

Comments

[Maverickine]

Genau das befürchte ich auch.

Answer 3

[Willy1729]

Hallo,

nutze folgenden Zusammenhang:

log a (b)=ln (b)/ln (a).

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[Maverickine]

Okay, das probiere ich jetzt mal. Danke :)

[Willy1729]

@Maverickine

Das funktioniert natürlich auch mit jedem anderen Logarithmus. Der ln ist auf dem Rechner nur am einfachsten einzugeben, weil der eine eigene Taste hat.

Answer 4

[Volens]

Das wäre ein Problem für die Potenzgesetze, wenn nicht beide Terme eindeutige Summanden wären. So kann jeder Summand für sich errechnet werden.

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Comments

[Maverickine]

Könntest du das genauer beschreiben?

[Volens]

@Maverickine

Zur Berechnung eines beliebigen Logarithmus gibt es einen Trick, mit dem du bei jedem TR belästigen darfst.

https://dieter-online.de.tl/Logarithmus.htm

Letzte Zeile
und egal, ob du lg oder ln nimmst, sie müssen nur gleich sein.

[Volens]

@Volens

weil du ja auch die Basis logarithmierst.

Answer 5

[Halswirbelstrom]

LG H.