Logarithmen vereinfachen/basiswechsel?

Hallo,

habe wahnsinnige Schwierigkeiten mit Aufgaben mit logarithmen.

Komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter: logx y · logy x ich soll diesen Ausdruck vereinfachen. Bitte einen detaillierten lösungsweg

Danke

Answer 1

[MichaelH77]

logx(y) kann man umschreiben als ln(y)/ln(x) oder lg(y)/lg(x)

logx(y)*logy(x)=ln(y)/ln(x)*ln(x)/ln(y) = 1

Answer 2

[mihisu]

Man kann mittels der Rechenregel...

$\log_b\left(a\right)=\frac{\log_c\left(a\right)}{\log_c\left(b\right)}$

... von einer Basis b zu einer Basis c wechseln.

Im konkreten Fall könntest du nun beispielsweise bei logₓ(y) entsprechend von Basis x zu Basis y wechseln. Wenn du das getan hast, solltest du vielleicht erkennen, wie man den Term weiter vereinfachen könnte.

$\log_x\left(y\right)\cdot\log_y\left(x\right)=\frac{\log_y\left(y\right)}{\log_y\left(x\right)}\cdot\log_y\left(x\right)=...$

Oder man könnte auch bei beiden Logarithmen zu einer anderen Basis, wie beispielsweise 2, wechseln...

$\log_x\left(y\right)\cdot\log_y\left(x\right)=\frac{\log_2\left(y\right)}{\log_2\left(x\right)}\cdot\frac{\log_2\left(x\right)}{\log_2\left(y\right)}=...$

... und das dann weiter vereinfachen.

Comments

[mihisu]

Lösungsweg zum Vergleich: https://i.imgur.com/NmFRXlc.png

Answer 3

[Volens]

So gemeint?
   log_x(y) * log_y(x) | Basiswechselsatz
=  log y / log x * log x / log y | reziprok
=  1

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Answer 4

[Bartosz11]

$\log_x\left(y\right)=\frac{\ln\left(y\right)}{\ln\left(x\right)}$ $\log_y\left(x\right)=\frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(y\right)}$ $\frac{\ln\left(y\right)}{\ln\left(x\right)}\cdot\frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(y\right)}=1$