Wie berechne ich hier die Nullstellen?
x⁴-x³+x²-x
5 Antworten
Du musst die Gleichung x⁴ - x³ + x² - x = 0 lösen.
Zunächst einmal kann man x ausklammern...
Ein Produkt reeller Zahlen ist genau dann gleich 0, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist.
Damit hat man mit x = 0 bereits eine Nullstelle gefunden. Um gegebenenfalls weitere Nullstellen zu finden, muss man noch die Gleichung x³ - x² + x - 1 = 0 lösen.
Für solche Gleichungen dritten Grades gibt es theoretisch die cardanischen Formeln. Allerdings sind diese kein Schulstoff, da sie auch nicht sooo einfach und schnell sind. Stattdessen versucht man im Rahmen der Schulmathematik nun eine ganzzahlige Nullstelle zu erraten. Bei solchen Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten muss eine ganzzahlige Nullstelle immer Teiler des Absolutglieds (der Summand ohne x) sein. D.h. im konkreten Fall kommen nur -1 bzw. 1 als ganzzahlige Nullstellen in Frage. Diese Zahlen kann man nun einsetzen, um herauszufinden, ob es sich um Nullstellen handelt.
Damit hat man herausgefunden, dass x = 1 eine Nullstelle ist. Demnach ist x³ - x² + x - 1 durch den Linearfaktor x - 1 teilbar. Man kann nun eine entsprechende Polynomdivision durchführen...
Demnach muss man weiter noch die Gleichung x² + 1 = 0 betrachten. Diese hat jedoch keine Lösung, da x² + 1 für alle reellen Zahlen x jeweils positiv ist, also an keiner Stelle gleich 0 wird. [x² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0] Dementsprechend gibt es keine weiteren Nullstellen.
Ergebnis: Es gibt zwei reelle Nullstellen, nämlich x₁ = 0 und x₂ = 1.
Die Gleichungen habe ich mit dem Formeleditor von gutefrage.net geschrieben.
(siehe auch: https://i.imgur.com/G4Jn1S2.png)
Der Formeleditor ist allerdings nur bei Fragen und Antworten verfügbar, leider nicht bei Kommentaren. (Außerdem finde ich den nicht immer optimal, sodass ich stattdessen auch oft die Formeln mit MS Word aufschreibe und dann den entsprechenden Bildschirmausschnitt als Bild in die Antwort einfüge.)
Die Polynomdivision habe ich in MS Word aufgeschrieben und den entsprechenden Bildschirmausschnitt als Bild in die Antwort eingefügt. Dazu habe ich das einfach mit einem Monospace-Font (nämlich: Consolas) aufgeschrieben. Monospace-Schriftarten sind Schriftarten, bei der alle Zeichen die gleiche Breite haben. Damit lässt sich das gut formatieren.
x⁴-x³+x²-x
x ausklammern ist klar
x*( x³ - x² + x - 1 )
Und jetzt ?
x = 0 ist schon mal eine Lösung
aber die Klammer ?
da ist noch x³ drin
Weil man x³ - x² + x - 1
so faktorisieren kann
(x - ZahlA)(x - ZahlB)(x - ZahlC)
muss bei der Ausmultiplikation
der letzte Summand A*B*C heißen
A, B und C sind aber die Nullstellen, dh in ABC (hier -1) steckt eine NSt.
Gottseidank ist es eine Schulaufgabe.
Da gibt es gute Chancen , dass man eine findet.
Aber was ist als Produkt -1 ?
1*1*-1 oder -1*-1*-1 oder -2*1/2*1
usw
Testen wir mal -1 bzw + 1
-1 >>> -1 + 1 - 1 - 1 passt nicht
+1 >>> 1 - 1 + 1 - 1 passt !!!
Nun muss man
(x³ - x² + x - 1) teilen durch (x + -1) = (x-1)
und erhält
x² , denn x * x² = x³
...(x³ - x² + x - 1)
- (x³ - x²)
__________________
0 + 0 + x - 1
jetzt zu den x² noch 1 , denn 1*x = x
...(x-1)
-(x-1)
-----------------
0 + 0
Also ist
(x³ - x² + x - 1)/(x-1) = x² + 1
jetzt wäre pq nötig
aber man kann auch sehen , dass
x² NICHT -1 werden kann ,damit die + 1 egalisiert wird.
Daher hat die Fkt nur ZWEI NSt
0 und + 1
Eine ist x = 0, bleibt
x³ - x² + x - 1
Eine musst du raten, was hier einfach ist,
dann Polynomdivision.
Zuerst mal x ausklammern und Satz vom Nullprodukt, führt zu x_1=0.
Dann die Klammer:
x^3 -x^2 +x-1=0
Offensichtlich ist x_2=1 eine Lösung.
Dann Polynomdivision (x^3-x^2+x-1):(x-1)
führt zu einer quadratischen Gleichung, die du dann mit der Mitternachtsformel lösen musst.
Raten und polynomdivision. Meist sind die Nullstellen bei solchen Aufgaben ganzzahlig und liegen zwischen -4 und 4. Hier kannst du sogar x einmal ausklammern.
Wie formattierst du deine Gleichungen und vor allem die Polynomdivision?